题目
13、求一阶线性微分方程-2xy=4x(e)^(x^2)的通解。
13、求一阶线性微分方程
的通解。
题目解答
答案
由题可得：
该一阶线性微分方程为：
代入一阶线性微分方程的通解公式可得：
所以该方程的通解为：
解析
步骤 1：确定微分方程的形式
给定的微分方程为$-2xy=4x{e}^{{x}^{2}}$，可以重写为$y'+2xy=4{e}^{{x}^{2}}$，其中$y'$表示$y$对$x$的导数。这是一个一阶线性微分方程，形式为$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=2x$，$Q(x)=4{e}^{{x}^{2}}$。
步骤 2：求解积分因子
一阶线性微分方程的通解公式为$y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$。首先，计算积分因子$e^{-\int P(x)dx}$，即$e^{-\int 2xdx}=e^{-x^2}$。
步骤 3：计算通解
将$Q(x)$和积分因子代入通解公式，得到$y=e^{-x^2}[\int 4{e}^{{x}^{2}}e^{x^2}dx+C]=e^{-x^2}[\int 4dx+C]=e^{-x^2}[4x+C]$。因此，该方程的通解为$y=e^{-x^2}(4x+C)$，其中$C$为任意常数。
给定的微分方程为$-2xy=4x{e}^{{x}^{2}}$，可以重写为$y'+2xy=4{e}^{{x}^{2}}$，其中$y'$表示$y$对$x$的导数。这是一个一阶线性微分方程，形式为$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=2x$，$Q(x)=4{e}^{{x}^{2}}$。
步骤 2：求解积分因子
一阶线性微分方程的通解公式为$y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$。首先，计算积分因子$e^{-\int P(x)dx}$，即$e^{-\int 2xdx}=e^{-x^2}$。
步骤 3：计算通解
将$Q(x)$和积分因子代入通解公式，得到$y=e^{-x^2}[\int 4{e}^{{x}^{2}}e^{x^2}dx+C]=e^{-x^2}[\int 4dx+C]=e^{-x^2}[4x+C]$。因此，该方程的通解为$y=e^{-x^2}(4x+C)$，其中$C$为任意常数。