题目
求函数 (x)=(x)^2ln (1+x) 在 x=0 处的n阶导数 '(n)(0)(ngeqslant 3
题目解答
答案
解析
步骤 1：求函数 $f(x)={x}^{2}\ln (1+x)$ 的泰勒展开式
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{2}\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式。由于 $\ln(1+x)$ 的泰勒展开式为 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$，我们可以将 $x^2$ 乘以这个展开式，得到 $f(x)$ 的泰勒展开式。
步骤 2：计算 $f(x)$ 的泰勒展开式
将 $\ln(1+x)$ 的泰勒展开式乘以 $x^2$，得到 $f(x) = x^2\ln(1+x) = x^3 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{3} - \frac{x^6}{4} + \cdots$。这个展开式可以写成 $f(x) = \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n-2}$。
步骤 3：求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的n阶导数
根据泰勒展开式的系数，我们可以知道 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的n阶导数为 ${f}^{(n)}(0) = n! \times (-1)^{n-1} \frac{1}{n-2}$，其中 $n \geqslant 3$。
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{2}\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式。由于 $\ln(1+x)$ 的泰勒展开式为 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$，我们可以将 $x^2$ 乘以这个展开式，得到 $f(x)$ 的泰勒展开式。
步骤 2：计算 $f(x)$ 的泰勒展开式
将 $\ln(1+x)$ 的泰勒展开式乘以 $x^2$，得到 $f(x) = x^2\ln(1+x) = x^3 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{3} - \frac{x^6}{4} + \cdots$。这个展开式可以写成 $f(x) = \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n-2}$。
步骤 3：求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的n阶导数
根据泰勒展开式的系数，我们可以知道 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的n阶导数为 ${f}^{(n)}(0) = n! \times (-1)^{n-1} \frac{1}{n-2}$，其中 $n \geqslant 3$。