题目
15.（简答题，7.0分）（7分）计算二重积分 iintlimits_(D)ydxdy，其中D是由曲线x=sqrt(2y-y^2)与直线x=0围成的平面闭区域.
15.（简答题，7.0分）
（7分）计算二重积分$ \iint\limits_{D}ydxdy$，其中D是由曲线$x=\sqrt{2y-y^{2}}$与直线x=0围成的平面闭区域.
题目解答
答案
将曲线方程转换为圆的标准形式：$x^2 + (y-1)^2 = 1$，表示以$(0,1)$为圆心、半径为1的圆。
积分区域为该圆的右半部分。
转换为极坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则$r = 2\sin\theta$。
积分范围：$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，$r \in [0, 2\sin\theta]$。
计算二重积分：
\[
\iint y \, dx \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\sin\theta} r^2\sin\theta \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2}
\]
答案：$\boxed{\frac{\pi}{2}}$
解析
步骤 1：确定积分区域
曲线$x=\sqrt{2y-y^{2}}$可以转换为圆的标准形式$x^2 + (y-1)^2 = 1$，表示以$(0,1)$为圆心、半径为1的圆。积分区域为该圆的右半部分。
步骤 2：转换为极坐标
将$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$代入圆的方程，得到$r = 2\sin\theta$。积分范围为$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，$r \in [0, 2\sin\theta]$。
步骤 3：计算二重积分
将二重积分转换为极坐标形式，计算积分： \[ \iint y \, dx \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\sin\theta} r^2\sin\theta \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2} \]
曲线$x=\sqrt{2y-y^{2}}$可以转换为圆的标准形式$x^2 + (y-1)^2 = 1$，表示以$(0,1)$为圆心、半径为1的圆。积分区域为该圆的右半部分。
步骤 2：转换为极坐标
将$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$代入圆的方程，得到$r = 2\sin\theta$。积分范围为$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，$r \in [0, 2\sin\theta]$。
步骤 3：计算二重积分
将二重积分转换为极坐标形式，计算积分： \[ \iint y \, dx \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\sin\theta} r^2\sin\theta \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2} \]