题目
微分方程y′+ytanx=cosx的通解为y=______. .
微分方程y′+ytanx=cosx的通解为y=______.
.题目解答
答案
∵由微分方程y′+ytanx=cosx，知：
P（x）=tanx，Q（x）=cosx，
∴代入公式：y=e-∫P（x）dx（∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C），
得：
y=e-∫tanxdx（∫cosxe∫tanxdxdx+C）=cosx（x+C），其中C为任意常数．
解析
步骤 1：确定微分方程的类型
给定的微分方程为y′+ytanx=cosx，这是一个一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)=tanx，Q(x)=cosx。
步骤 2：求解对应的齐次方程
对应的齐次方程为y′+ytanx=0，其通解为y=Ce^{-∫tanxdx}，其中C为任意常数。计算积分∫tanxdx，得到∫tanxdx=∫sinx/cosxdx=-ln|cosx|+C，因此齐次方程的通解为y=Ce^{ln|cosx|}=Ccosx。
步骤 3：求解非齐次方程的特解
使用常数变易法，设非齐次方程的特解为y=C(x)cosx，其中C(x)为待定函数。将y=C(x)cosx代入原方程，得到C'(x)cosx=cosx，从而C'(x)=1，积分得到C(x)=x+C，其中C为任意常数。因此，非齐次方程的特解为y=(x+C)cosx。
步骤 4：写出通解
将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到原方程的通解为y=Ccosx+(x+C)cosx=(x+C)cosx，其中C为任意常数。
给定的微分方程为y′+ytanx=cosx，这是一个一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)=tanx，Q(x)=cosx。
步骤 2：求解对应的齐次方程
对应的齐次方程为y′+ytanx=0，其通解为y=Ce^{-∫tanxdx}，其中C为任意常数。计算积分∫tanxdx，得到∫tanxdx=∫sinx/cosxdx=-ln|cosx|+C，因此齐次方程的通解为y=Ce^{ln|cosx|}=Ccosx。
步骤 3：求解非齐次方程的特解
使用常数变易法，设非齐次方程的特解为y=C(x)cosx，其中C(x)为待定函数。将y=C(x)cosx代入原方程，得到C'(x)cosx=cosx，从而C'(x)=1，积分得到C(x)=x+C，其中C为任意常数。因此，非齐次方程的特解为y=(x+C)cosx。
步骤 4：写出通解
将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到原方程的通解为y=Ccosx+(x+C)cosx=(x+C)cosx，其中C为任意常数。