题目
当x→0时,1-cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小,求n与a的值.
当x→0时,1-cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小,求n与a的值.
题目解答
答案
正确答案:[详解1] 当x→0时,1-COS.rcos2xcos3x与axn为等价无穷小,由三角函数的积化和差公式以及洛必塔法则得故n=2,a=7.[详解2] 当x→0时,由泰勒公式于是cos3ccos2x=,cosxcos2xcos3x=1—7x2+o(x2).因此1-cosxcos2xcos3ax=7x2-o(x2),即当x→0时,1-cosxcos2xcos3x与7x2为等价无穷小量,故n=2,a=7. 涉及知识点:函数、极限、连续
解析
步骤 1：利用泰勒公式展开
当x→0时，利用泰勒公式，我们可以将cosx、cos2x和cos3x展开为x的幂级数形式。泰勒公式告诉我们，对于cosx，当x→0时，cosx可以近似为1 - x^2/2 + o(x^2)。同理，cos2x和cos3x也可以用类似的方式展开。
步骤 2：计算cosxcos2xcos3x的近似值
将cosx、cos2x和cos3x的泰勒展开式相乘，得到cosxcos2xcos3x的近似值。由于我们只关心x→0时的近似值，因此可以忽略高阶无穷小项，只保留到x^2的项。
步骤 3：计算1-cosxcos2xcos3x的近似值
从步骤2得到的cosxcos2xcos3x的近似值中减去1，得到1-cosxcos2xcos3x的近似值。这个近似值应该与ax^n为等价无穷小，因此可以比较系数来确定n和a的值。
当x→0时，利用泰勒公式，我们可以将cosx、cos2x和cos3x展开为x的幂级数形式。泰勒公式告诉我们，对于cosx，当x→0时，cosx可以近似为1 - x^2/2 + o(x^2)。同理，cos2x和cos3x也可以用类似的方式展开。
步骤 2：计算cosxcos2xcos3x的近似值
将cosx、cos2x和cos3x的泰勒展开式相乘，得到cosxcos2xcos3x的近似值。由于我们只关心x→0时的近似值，因此可以忽略高阶无穷小项，只保留到x^2的项。
步骤 3：计算1-cosxcos2xcos3x的近似值
从步骤2得到的cosxcos2xcos3x的近似值中减去1，得到1-cosxcos2xcos3x的近似值。这个近似值应该与ax^n为等价无穷小，因此可以比较系数来确定n和a的值。