int_(0)^1f^2(x)dxleqslantint_(0)^1xdxcdotint_(0)^1f^prime(}^2(t)dt=(1)/(2)int_{0)^1f^prime{}^2(t)dt.注 本题若再加一个条件f(1)=0，便可证明int_(0)^1f^2(x)dxleqslant(1)/(4)int_(0)^1f^prime(}^2(x)dx及int_{0)^1f^2(x)dxleqslant(1)/(8)int_(0)^1f^prime{}^2(x)dx.

本题考查利用导数与积分的关系及不等式技巧证明积分不等式。核心思路是：

1. 通过原函数表达式将$f(x)$与$f'(x)$联系起来；
2. 应用柯西-施瓦茨不等式建立平方积分与导数平方积分的关系；
3. 交换积分顺序简化表达式；
4. 通过不等式放缩得到最终结果。

添加条件$f(1)=0$后，需调整原函数的表达方式，通过类似步骤进一步优化系数。

步骤1：利用导数表示原函数

由$f(0)=0$，根据微积分基本定理，得：
$f(x) = \int_0^x f'(t) \, dt$

步骤2：应用柯西-施瓦茨不等式

对积分表达式应用柯西-施瓦茨不等式：
$f^2(x) = \left( \int_0^x f'(t) \, dt \right)^2 \leq \left( \int_0^x 1^2 \, dt \right) \left( \int_0^x [f'(t)]^2 \, dt \right) = x \int_0^x [f'(t)]^2 \, dt$

步骤3：积分并交换顺序

对不等式两边在$[0,1]$上积分：
$\int_0^1 f^2(x) \, dx \leq \int_0^1 x \int_0^x [f'(t)]^2 \, dt \, dx$
交换积分顺序（原积分区域为$0 \leq t \leq x \leq 1$）：
$= \int_0^1 [f'(t)]^2 \left( \int_t^1 x \, dx \right) dt = \int_0^1 [f'(t)]^2 \cdot \frac{1 - t^2}{2} \, dt$

步骤4：放缩得结论

注意到$\frac{1 - t^2}{2} \leq \frac{1}{2}$，因此：
$\int_0^1 f^2(x) \, dx \leq \frac{1}{2} \int_0^1 [f'(t)]^2 \, dt$

添加条件$f(1)=0$的情况

此时可将$f(x)$表示为：
$f(x) = \int_x^1 f'(t) \, dt \quad \text{或} \quad f(x) = \int_0^x f'(t) \, dt - \int_x^1 f'(t) \, dt$
通过类似步骤，分别得到：

1. $\frac{1}{4}$系数：利用对称性优化积分区域；
2. $\frac{1}{8}$系数：结合两种表达式进一步放缩。