题目

求曲线^2+(y)^2+(z)^2=6,-|||-x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程.

求曲线 $\left \{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6,\\x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程.

题目解答

答案

解为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,可得

$\left \{\begin{array}{c}2x+2y\frac{dy}{dx}+2z\frac{dz}{dx}=0,\\1+\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}=0.\end{array}\right.$

解方程组得

$\frac{dy}{dx}=\frac{z-x}{y-z}$ , $\frac{dz}{dx}=\frac{x-y}{y-z}$ .

在点(1,-2,1)处, $\frac{dy}{dx}=0$ , $\frac{dz}{dx}=-1$ ,从而 $T=(1,0,-1)$ .

所求切线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$ ,

法平面方程为 $(x-1)+0\times (y+2)-(z-1)=0$ ,

即 $x-z=0$ .

解析

步骤 1：求切向量
为求切向量，将所给方程的两边对x求导数，可得
$\left \{\begin{array}{c}2x+2y\frac{dy}{dx}+2z\frac{dz}{dx}=0,\\1+\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}=0.\end{array}\right.$
步骤 2：解方程组
解方程组得
$\frac{dy}{dx}=\frac{z-x}{y-z}$,$\frac{dz}{dx}=\frac{x-y}{y-z}$.
步骤 3：计算切向量
在点(1,-2,1)处,$\frac{dy}{dx}=0$,$\frac{dz}{dx}=-1$,从而$T=(1,0,-1)$.
步骤 4：求切线方程
所求切线方程为$\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$.
步骤 5：求法平面方程
法平面方程为$(x-1)+0\times (y+2)-(z-1)=0$,
即$x-z=0$.