已知(x)的一个原函数是sin2x,则(x)的一个原函数是sin2x ( )A. (x)的一个原函数是sin2x; B. (x)的一个原函数是sin2x; C. (x)的一个原函数是sin2x; D. (x)的一个原函数是sin2x。

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及原函数与导数之间的关系。
解题思路：

1. 确定$f(x)$：已知$f(x)$的原函数是$\sin 2x$，因此$f(x)$是$\sin 2x$的导数，即$f(x) = 2\cos 2x$。
2. 应用分部积分法：对$\int x f'(x) \, dx$进行分部积分，选择$u = x$，$dv = f'(x) \, dx$，则$du = dx$，$v = f(x)$。
3. 代入公式计算：分部积分公式为$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，代入后化简即可得到结果。

步骤1：确定$f(x)$

已知$f(x)$的原函数是$\sin 2x$，因此：
$f(x) = \frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2\cos 2x.$

步骤2：应用分部积分法

对$\int x f'(x) \, dx$进行分部积分，设：
$u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx,$
$dv = f'(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = f(x) = 2\cos 2x.$
根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int x f'(x) \, dx &= x \cdot f(x) - \int f(x) \, dx \\&= x \cdot 2\cos 2x - \int 2\cos 2x \, dx.\end{aligned}$

步骤3：计算剩余积分

计算$\int 2\cos 2x \, dx$：
$\int 2\cos 2x \, dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C = \sin 2x + C.$

步骤4：整理结果

将结果代入分部积分公式：
$\begin{aligned}\int x f'(x) \, dx &= 2x\cos 2x - (\sin 2x + C) \\&= 2x\cos 2x - \sin 2x + C.\end{aligned}$