题目

0 a 0-|||-设A= 1 0 1 为反对称矩阵,则必有-|||-b c 0a=b=-1,c=0 . a=c=-1,b=0 a=c=0,b=-1 . b=c=-1,a=0.

$设 A=\begin{pmatrix}0&a&0\\1&0&1\\b&c&0\end{pmatrix}:为反对称矩阵，则必有$

a=b=-1,c=0 .

a=c=-1,b=0

a=c=0,b=-1 .

b=c=-1,a=0.

题目解答

答案

要求矩阵 $( A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ b & c & 0 \end{pmatrix} )$ 是反对称矩阵，意味着 ( $A^T=-A$ ).

计算 ( $A^T$ ):

$[ A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & b \\ a & 0 & c \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ]$

要求 ( $A^T=-A$ ):

$[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & b \\ a & 0 & c \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ b & c & 0 \end{pmatrix} ]$

比较每个对应元素:

$((A^T)11=-(A)11):$

[ 0 = 0 ]

$((A^T)12=-(A)21):$

[ 1 = -a ]

从中得到 ( a = -1 ).

$((A^T)13=-(A)31):$

[ b = 0 ]

$((A^T)21=-(A)12):$

[ a = -1 ]

$((A^T)22=-(A)22):$

[ 0 = 0 ]

$((A^T)23=-(A)32):$

[ c = -1 ]

$((A^T)31=-(A)13):$

[ 0 = b ]

$((A^T)32=-(A)23):$

[ 1 = -c ]

从中得到 ( c = -1 ).

综上所述，要使矩阵 ( A ) 成为反对称矩阵，必须满足 ( a = -1 ), ( b = 0 ), ( c = -1 ).

解析

步骤 1：定义反对称矩阵
一个矩阵 $A$ 是反对称矩阵，当且仅当 $A^T = -A$，其中 $A^T$ 是矩阵 $A$ 的转置矩阵。

步骤 2：计算矩阵 $A$ 的转置矩阵 $A^T$
给定矩阵 $A = \left (\begin{matrix} 0& a& 0\\ 1& 0& 1\\ b& c& 0\end{matrix} ) \right.$，其转置矩阵 $A^T$ 为：
$$
A^T = \left (\begin{matrix} 0& 1& b\\ a& 0& c\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right.
$$

步骤 3：根据反对称矩阵的定义，比较 $A^T$ 和 $-A$
根据定义，$A^T = -A$，即：
$$
\left (\begin{matrix} 0& 1& b\\ a& 0& c\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right. = -\left (\begin{matrix} 0& a& 0\\ 1& 0& 1\\ b& c& 0\end{matrix} ) \right.
$$
计算 $-A$：
$$
-A = \left (\begin{matrix} 0& -a& 0\\ -1& 0& -1\\ -b& -c& 0\end{matrix} ) \right.
$$

步骤 4：比较矩阵 $A^T$ 和 $-A$ 的对应元素
比较矩阵 $A^T$ 和 $-A$ 的对应元素，得到以下方程组：
$$
\begin{cases}
0 = 0 \\
1 = -a \\
b = -b \\
a = -1 \\
0 = 0 \\
c = -1 \\
0 = -1 \\
1 = -c \\
0 = 0
\end{cases}
$$
从方程组中解出 $a$、$b$ 和 $c$：
$$
\begin{cases}
1 = -a \Rightarrow a = -1 \\
b = -b \Rightarrow b = 0 \\
c = -1
\end{cases}
$$