题目
设函数f(x)= ) (x)^2, xleqslant 1 ax+b, xgt 1 .应取什么值？
设函数
，为了使函数,
在
处连续且可导，
应取什么值？
题目解答
答案
设函数f(x)={x平方,x≤1},{ax+b,x＞1},为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a、b应取什么值?
为使函数f(x)在x=1处连续
x≤1,f(x)=x^2,x=1时,f(1)=1
x>1, f(x)=ax+b,x从1+方向趋近于1时,f(x）=ax+b 应该趋近于1
即a+b趋近于1,a+b=1
“可导”的含义比“连续”的含义更多一层要求：要求在x=1处,x从左边趋近于1的极限（左极限）要求存在、并且等于函数在x=1的值f(1),而且x从右边趋近于1时的极限（右极限）也要求存在、并且等于函数在x=1的值f(1),这样才称得上“函数在x=1处可导”.
为了让左右极限相等、并且等于f(1)的值1,考察左极限在x=1的变化趋势,即f(x)=x^2在x=1处的切线方向,由f'(x)=2x决定.此切线的斜率k=2.
x从右边趋近于1时的极限（右极限）也应该具有斜率k=2的斜率.
当x>1时,f(x)=kx+h
因为已知 f(x)=ax+b
则 a=k=2,b=h,f(x)=2x+b
当x从右边趋近于1时,右极限等于左极限1及f(1)=1
故 2*1+b=1
b=-1.
结论：为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a、b应取a=2,b=-1.
为使函数f(x)在x=1处连续
x≤1,f(x)=x^2,x=1时,f(1)=1
x>1, f(x)=ax+b,x从1+方向趋近于1时,f(x）=ax+b 应该趋近于1
即a+b趋近于1,a+b=1
“可导”的含义比“连续”的含义更多一层要求：要求在x=1处,x从左边趋近于1的极限（左极限）要求存在、并且等于函数在x=1的值f(1),而且x从右边趋近于1时的极限（右极限）也要求存在、并且等于函数在x=1的值f(1),这样才称得上“函数在x=1处可导”.
为了让左右极限相等、并且等于f(1)的值1,考察左极限在x=1的变化趋势,即f(x)=x^2在x=1处的切线方向,由f'(x)=2x决定.此切线的斜率k=2.
x从右边趋近于1时的极限（右极限）也应该具有斜率k=2的斜率.
当x>1时,f(x)=kx+h
因为已知 f(x)=ax+b
则 a=k=2,b=h,f(x)=2x+b
当x从右边趋近于1时,右极限等于左极限1及f(1)=1
故 2*1+b=1
b=-1.
结论：为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a、b应取a=2,b=-1.
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性和可导性条件。
解题核心思路：
- 连续性：函数在分界点处的左右极限必须相等且等于函数值。
- 可导性：函数在分界点处的左右导数必须存在且相等。
破题关键：
- 连续性条件：通过左右极限相等建立方程。
- 可导性条件：通过左右导数相等建立方程，结合连续性条件联立求解。
步骤1：分析连续性条件
当$x \leqslant 1$时，$f(x) = x^2$，因此$f(1) = 1^2 = 1$。
当$x > 1$时，$f(x) = ax + b$，当$x$趋近于1右侧时，极限值为$a \cdot 1 + b = a + b$。
为了连续，需满足：
$a + b = 1 \quad \text{（连续性方程）}$
步骤2：分析可导性条件
- 左导数：当$x \leqslant 1$时，$f'(x) = 2x$，在$x=1$处左导数为$2 \cdot 1 = 2$。
- 右导数：当$x > 1$时，$f'(x) = a$，在$x=1$处右导数为$a$。
为了可导，需满足：
$a = 2 \quad \text{（可导性方程）}$
步骤3：联立方程求解
将$a = 2$代入连续性方程$a + b = 1$，得：
$2 + b = 1 \implies b = -1$