题目
六．(本题 10 分)有 10 盒种子,其中 1 盒发芽率为 90％，其他 9 盒为 20％。随机选取其中 1 盒，从中取出 1粒种子，该种子能发芽的概率为多少?若该种子能发芽，则它来自发芽率高的 1 盒的概率是多少?
六．(本题 10 分)有 10 盒种子,其中 1 盒发芽率为 90％，其他 9 盒为 20％。随机选取其中 1 盒，从中取出 1粒种子，该种子能发芽的概率为多少?若该种子能发芽，则它来自发芽率高的 1 盒的概率是多少?
题目解答
答案
解：由全概率公式及 Bayes 公式P（该种子能发芽)＝0.1×0。9+0。9×0.2＝0.27---——-———---—------—-—--—-————--———5 分P（该种子来自发芽率高的一盒）＝（0。1×0。9）/0.27＝1/3-——-—————-----———————10分
解析
步骤 1：定义事件
设事件 A 表示“种子能发芽”，事件 B 表示“种子来自发芽率为 90% 的那盒”，事件 B' 表示“种子来自发芽率为 20% 的其他 9 盒”。
步骤 2：计算种子能发芽的概率
根据全概率公式，种子能发芽的概率 P(A) 可以表示为：
\[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B') \]
其中，P(A|B) 表示种子来自发芽率为 90% 的那盒时能发芽的概率，P(B) 表示种子来自发芽率为 90% 的那盒的概率，P(A|B') 表示种子来自发芽率为 20% 的其他 9 盒时能发芽的概率，P(B') 表示种子来自发芽率为 20% 的其他 9 盒的概率。
\[ P(A) = 0.9 \times 0.1 + 0.2 \times 0.9 = 0.27 \]
步骤 3：计算种子能发芽且来自发芽率高的 1 盒的概率
根据 Bayes 公式，种子能发芽且来自发芽率高的 1 盒的概率 P(B|A) 可以表示为：
\[ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} \]
\[ P(B|A) = \frac{0.9 \times 0.1}{0.27} = \frac{1}{3} \]
设事件 A 表示“种子能发芽”，事件 B 表示“种子来自发芽率为 90% 的那盒”，事件 B' 表示“种子来自发芽率为 20% 的其他 9 盒”。
步骤 2：计算种子能发芽的概率
根据全概率公式，种子能发芽的概率 P(A) 可以表示为：
\[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B') \]
其中，P(A|B) 表示种子来自发芽率为 90% 的那盒时能发芽的概率，P(B) 表示种子来自发芽率为 90% 的那盒的概率，P(A|B') 表示种子来自发芽率为 20% 的其他 9 盒时能发芽的概率，P(B') 表示种子来自发芽率为 20% 的其他 9 盒的概率。
\[ P(A) = 0.9 \times 0.1 + 0.2 \times 0.9 = 0.27 \]
步骤 3：计算种子能发芽且来自发芽率高的 1 盒的概率
根据 Bayes 公式，种子能发芽且来自发芽率高的 1 盒的概率 P(B|A) 可以表示为：
\[ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} \]
\[ P(B|A) = \frac{0.9 \times 0.1}{0.27} = \frac{1}{3} \]