求 (int )_(0)^8dfrac (1)(1+sqrt [3]{x)}dx

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过变量替换法简化积分表达式的能力，以及对分式函数积分技巧的掌握。

解题核心思路：

1. 变量替换：令 $\sqrt[3]{x} = t$，将原积分转化为关于 $t$ 的积分，简化被积函数。
2. 分式分解：将被积函数 $\frac{t^2}{1+t}$ 分解为多项式与简单分式的组合，便于逐项积分。
3. 逐项积分：分别计算多项式部分和分式部分的积分，最后代入上下限求解。

破题关键点：

• 正确选择替换变量，明确替换后的积分上下限。
• 灵活分解被积函数，避免直接展开带来的复杂计算。

变量替换：
令 $\sqrt[3]{x} = t$，则 $x = t^3$，$dx = 3t^2 dt$。
当 $x = 0$ 时，$t = 0$；当 $x = 8$ 时，$t = 2$。
原积分变为：
$\int_{0}^{8} \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+t} \cdot 3t^2 dt = 3 \int_{0}^{2} \frac{t^2}{1+t} dt.$

分式分解：
将 $\frac{t^2}{1+t}$ 分解为多项式与简单分式：
$\frac{t^2}{1+t} = t - 1 + \frac{1}{1+t}.$

逐项积分：
$3 \int_{0}^{2} \left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right) dt = 3 \left[ \int_{0}^{2} (t - 1) dt + \int_{0}^{2} \frac{1}{1+t} dt \right].$

1. 计算多项式部分：
   $\int_{0}^{2} (t - 1) dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 - t \right]_{0}^{2} = \left( \frac{1}{2}(2)^2 - 2 \right) - \left( 0 - 0 \right) = 0.$

2. 计算分式部分：
   $\int_{0}^{2} \frac{1}{1+t} dt = \left[ \ln|1+t| \right]_{0}^{2} = \ln3 - \ln1 = \ln3.$

综合结果：
$3 \left( 0 + \ln3 \right) = 3\ln3.$