题目

.lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2-9}(x-3)=3 ,则-|||-A. ^2-9 与 x-3 互为等价无穷小-|||-B. ^2-9 与 x-3 互为同阶无穷小-|||-C. ^2-9 与 x-3 互为高阶无穷小-|||-D. ^2-9 与 x-3 互为低阶无穷小

题目解答

答案

解析】$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-9}{x-3}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim _{x\rightarrow \infty }(x+3)=3$
$\therefore {x}^{2}-9$ 与 x-3 互为同阶无穷小
$\bigcirc $
B

解析

考查要点：本题主要考查无穷小阶的比较方法，即通过极限判断两个无穷小量的阶数关系。

解题核心思路：
当两个无穷小量 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足 $\lim \frac{\alpha}{\beta} = C$（$C$ 为非零常数）时，它们是同阶无穷小；若极限为 $0$，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小；若极限为无穷大，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小。

破题关键点：

  1. 分解分子：将分子 $x^2 - 9$ 因式分解为 $(x-3)(x+3)$。
  2. 约分简化：与分母 $x-3$ 约分后，得到 $x+3$。
  3. 分析极限：根据题目条件，当 $x \to \infty$ 时，$x+3$ 的极限为无穷大，但题目中给出的极限为 $3$，此处存在矛盾。实际应为 $x \to 3$，此时分子和分母均为无穷小，且比值为常数，从而判断同阶。

关键步骤解析：

  1. 因式分解：
    $x^2 - 9 = (x-3)(x+3).$
  2. 约分简化：
    $\frac{x^2 - 9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3.$
  3. 极限分析：
    • 若题目中 $x \to 3$，则 $x+3 \to 6$，此时 $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x-3} = 6$，说明分子与分母是同阶无穷小。
    • 题目中给出的极限为 $3$，可能存在笔误，但根据选项逻辑，正确答案为 B。