求极限lim _(xarrow +infty )(({x)^dfrac (1{x)}-1)}^dfrac (1{ln x)}.

步骤 1：将原式转换为指数形式
原式可以写成$\lim _{x\rightarrow +\infty }{({e}^{\ln {x}^{\dfrac {1}{x}}}-1)}^{\dfrac {1}{\ln x}}$，因为$x^{\frac{1}{x}}$可以写成$e^{\ln x^{\frac{1}{x}}}$。
步骤 2：简化指数部分
$\lim _{x\rightarrow +\infty }{({e}^{\dfrac {\ln x}{x}}-1)}^{\dfrac {1}{\ln x}}$，因为$\ln x^{\frac{1}{x}} = \frac{\ln x}{x}$。
步骤 3：利用对数的性质
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({e}^{\dfrac {\ln x}{x}}-1)}{\ln x}$，将指数部分的对数提取出来。
步骤 4：应用洛必达法则
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1-\ln x}{x}{e}^{\dfrac {\ln x}{x}}\dfrac {1}{\dfrac {\ln x}{x}}$，对分子分母同时求导。
步骤 5：进一步简化
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1-\ln x}{\ln x}{e}^{\dfrac {\ln x}{x}}$，将分母中的$x$与$\ln x$约去。
步骤 6：计算极限
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1-\ln x}{\ln x}\cdot \lim _{x\rightarrow +\infty }{e}^{\dfrac {\ln x}{x}}$，将极限分成两部分计算。
步骤 7：得出结论
$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1-\ln x}{\ln x}=-1$，$\lim _{x\rightarrow +\infty }{e}^{\dfrac {\ln x}{x}}=1$，所以原式=-1。