题目
求微分方程ln xdy+(y-ln x)dx=0满足条件ln xdy+(y-ln x)dx=0的特解..
求微分方程
满足条件
的特解.
题目解答
答案
，
，
，
；
，c为任意常数，
由于，
所以，
所以，微分方程满足条件的特解为
.
解析
步骤 1：将微分方程重写为标准形式
原方程为$c\ln xdy+(y-\ln x)dx=0$，可以重写为$\ln xdy+\dfrac{y-\ln x}{x}dx=0$。
步骤 2：将方程变形为可分离变量的形式
将方程变形为$\ln xdy+\dfrac{y}{x}dx=\dfrac{\ln x}{x}dx$，即$xd(y\ln x)=\ln xdx$。
步骤 3：积分求解
对等式两边积分，得到$y\ln x=\dfrac{1}{2}(\ln x)^2+C$，其中$C$为积分常数。
步骤 4：利用初始条件求解常数$C$
由于$x=e$时，$y=1$，代入上式得到$1\times \ln e=\dfrac{1}{2}(\ln e)^2+C$，即$1=\dfrac{1}{2}+C$，解得$C=\dfrac{1}{2}$。
原方程为$c\ln xdy+(y-\ln x)dx=0$，可以重写为$\ln xdy+\dfrac{y-\ln x}{x}dx=0$。
步骤 2：将方程变形为可分离变量的形式
将方程变形为$\ln xdy+\dfrac{y}{x}dx=\dfrac{\ln x}{x}dx$，即$xd(y\ln x)=\ln xdx$。
步骤 3：积分求解
对等式两边积分，得到$y\ln x=\dfrac{1}{2}(\ln x)^2+C$，其中$C$为积分常数。
步骤 4：利用初始条件求解常数$C$
由于$x=e$时，$y=1$，代入上式得到$1\times \ln e=\dfrac{1}{2}(\ln e)^2+C$，即$1=\dfrac{1}{2}+C$，解得$C=\dfrac{1}{2}$。