题目
例 计算 int_(L)(x^2+3y)dx+(y^2-x)dy，其中L为上半圆周 y=sqrt(4x-x^2) 从O(0,0)到A(4,0).
例 计算 $\int_{L}(x^{2}+3y)dx+(y^{2}-x)dy$，其中L为上半圆周 $y=\sqrt{4x-x^{2}}$ 从O(0,0)到A(4,0).
题目解答
答案
将曲线 $L$ 补充为闭合曲线 $L + L'$，其中 $L'$ 为从 $A(4,0)$ 到 $O(0,0)$ 的直线段。设 $P = x^2 + 3y$，$Q = y^2 - x$，则
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - 3 = -4.
\]
由格林定理（注意方向为负），
\[
\oint_{L+L'} Pdx + Qdy = -\iint_D 4 \, dA = -8\pi.
\]
计算 $L'$ 上的积分（$y=0$，$dy=0$），
\[
\int_{L'} Pdx + Qdy = \int_4^0 x^2 \, dx = -\frac{64}{3}.
\]
因此，
\[
\int_L Pdx + Qdy = -8\pi + \frac{64}{3} = \boxed{\frac{64}{3} - 8\pi}.
\]
解析
步骤 1：确定曲线 $L$ 和 $L'$ 的定义
曲线 $L$ 是上半圆周 $y=\sqrt{4x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(4,0)$。为了应用格林定理，我们需要将曲线 $L$ 补充为闭合曲线 $L + L'$，其中 $L'$ 是从 $A(4,0)$ 到 $O(0,0)$ 的直线段。
步骤 2：应用格林定理
设 $P = x^2 + 3y$，$Q = y^2 - x$，则 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - 3 = -4. \] 由格林定理（注意方向为负）， \[ \oint_{L+L'} Pdx + Qdy = -\iint_D 4 \, dA = -8\pi. \] 其中 $D$ 是由曲线 $L$ 和 $L'$ 围成的区域。
步骤 3：计算 $L'$ 上的积分
$y=0$，$dy=0$，因此 \[ \int_{L'} Pdx + Qdy = \int_4^0 x^2 \, dx = -\frac{64}{3}. \]
步骤 4：计算 $L$ 上的积分
根据步骤 2 和步骤 3 的结果， \[ \int_L Pdx + Qdy = -8\pi + \frac{64}{3} = \frac{64}{3} - 8\pi. \]
曲线 $L$ 是上半圆周 $y=\sqrt{4x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(4,0)$。为了应用格林定理，我们需要将曲线 $L$ 补充为闭合曲线 $L + L'$，其中 $L'$ 是从 $A(4,0)$ 到 $O(0,0)$ 的直线段。
步骤 2：应用格林定理
设 $P = x^2 + 3y$，$Q = y^2 - x$，则 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - 3 = -4. \] 由格林定理（注意方向为负）， \[ \oint_{L+L'} Pdx + Qdy = -\iint_D 4 \, dA = -8\pi. \] 其中 $D$ 是由曲线 $L$ 和 $L'$ 围成的区域。
步骤 3：计算 $L'$ 上的积分
$y=0$，$dy=0$，因此 \[ \int_{L'} Pdx + Qdy = \int_4^0 x^2 \, dx = -\frac{64}{3}. \]
步骤 4：计算 $L$ 上的积分
根据步骤 2 和步骤 3 的结果， \[ \int_L Pdx + Qdy = -8\pi + \frac{64}{3} = \frac{64}{3} - 8\pi. \]