题目
设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x,θ)={2e−2(x−θ) x>θ0 x⩽θ ，其中 θ>0 为未知参数。又设 x1 ， x2 ， …xn 是 X 的一组样本观测值，求参数 θ 的最大似然估计值。
设某种元件的使用寿命
题目解答
答案
似然函数为：
L（θ）=L（x1，x2，…，xn；θ）=
| |
|
当xi≥θ（i=1，2，…，n）时，L（θ）＞0，
两边取对数可得：
ln L（θ）=nln2-2
| n |
 |
| i＝1 |
因为：
| d ln L(θ) |
| dθ |
所以：L（θ）单调增加．
由于θ必须满足xi≥θ（i=1，2，…，n），
因此当θ取x1，x2，…，xn中的最小值时，L（θ）取最大值．
所以θ的最大似然估计为：
θ=min（x1，x2，…，xn）．
解析
步骤 1：定义似然函数
似然函数 L(θ) 是参数 θ 的函数，它表示在给定样本观测值 x1, x2, ..., xn 的情况下，参数 θ 的可能性。对于给定的概率密度函数 f(x,θ)，似然函数可以定义为所有样本观测值的联合概率密度函数。
步骤 2：写出似然函数
根据题目中的概率密度函数 f(x,θ)={2e−2(x−θ) x>θ0 x⩽θ，似然函数 L(θ) 可以写为：
L(θ) = L(x1, x2, ..., xn; θ) =
2^n * e^(-2 * Σ(xi - θ)) xi > θ (i = 1, 2, ..., n)
0 其他
步骤 3：求似然函数的最大值
为了找到似然函数的最大值，我们需要找到使得 L(θ) 最大的 θ 值。由于 L(θ) 是单调增加的，因此当 θ 取 x1, x2, ..., xn 中的最小值时，L(θ) 取最大值。
似然函数 L(θ) 是参数 θ 的函数，它表示在给定样本观测值 x1, x2, ..., xn 的情况下，参数 θ 的可能性。对于给定的概率密度函数 f(x,θ)，似然函数可以定义为所有样本观测值的联合概率密度函数。
步骤 2：写出似然函数
根据题目中的概率密度函数 f(x,θ)={2e−2(x−θ) x>θ0 x⩽θ，似然函数 L(θ) 可以写为：
L(θ) = L(x1, x2, ..., xn; θ) =
2^n * e^(-2 * Σ(xi - θ)) xi > θ (i = 1, 2, ..., n)
0 其他
步骤 3：求似然函数的最大值
为了找到似然函数的最大值，我们需要找到使得 L(θ) 最大的 θ 值。由于 L(θ) 是单调增加的，因此当 θ 取 x1, x2, ..., xn 中的最小值时，L(θ) 取最大值。