题目

（1）已知_(1)=(2,1,1,1), _(2)=(-1,1,7,10),_(1)=(2,1,1,1), _(2)=(-1,1,7,10),，求该向量组的极大无关组与秩.（2）已知_(1)=(2,1,1,1), _(2)=(-1,1,7,10),_(1)=(2,1,1,1), _(2)=(-1,1,7,10),，求该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示.

（1）已知 $\alpha_1=(2,1,1,1),\alpha_2=(-1,1,7,10),$

$\alpha_3=(3,1,-1,-2),\alpha_4=(8,5,9,11)$ ，求该向量组的极大无关组与秩.

（2）已知 $\alpha_1=(1,2,-3),\alpha_2=(2,-1,-1),$

$\alpha_3=(-1,3,-2),\alpha_4=(-2,1,-4)$ ，

求该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示.

题目解答

答案

（1） $\left(\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T\right)=\begin{pmatrix} 2&-1&3&8 \newline 1&1&1&5 \newline 1&7&-1&9 \newline 1&10&-2&11 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{r_{1}\longleftrightarrow r_{2}} \begin{pmatrix} 1&1&1&5 \newline 2&-1&3&8 \newline 1&7&-1&9 \newline 1&10&-2&11 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{-2r_{1}+r_{2}} \begin{pmatrix} 1&1&1&5 \newline 0&-3&1&-2 \newline 1&7&-1&9 \newline 1&10&-2&11 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow[-r_{1}+r_{4} ]{-r_{1}+r_{3}} \begin{pmatrix} 1&1&1&5 \newline 0&-3&1&-2 \newline 0&6&-2&4 \newline 0&9&-3&6 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow[3r_{2}+r_{4} ]{2r_{2}+r_{3}} \begin{pmatrix} 1&1&1&5 \newline 0&-3&1&-2 \newline 0&0&0&0 \newline 0&0&0&0 \newline \end{pmatrix}$

则 $r\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right)=r\left(\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T\right)=2.$

故该向量组的极大无关组为： $\alpha_1,\alpha_2$ 或 $\alpha_1,\alpha_3$ 或 $\alpha_1,\alpha_4$ 或 $\alpha_2,\alpha_3$ 或 $\alpha_2,\alpha_4$ 或 $\alpha_3,\alpha_4$ .

（2） $\left(\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T\right)=\begin{pmatrix} 1 &2&-1&-2 \newline 2 &-1&3&1\newline -3 &-1&-2&-4 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{-2r_{1}+r_{2}}\begin{pmatrix} 1 &2&-1&-2 \newline 0 &-5&5&5\newline -3 &-1&-2&-4 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{3r_{1}+r_{3}}\begin{pmatrix} 1 &2&-1&-2 \newline 0 &-5&5&5\newline 0 &5&-5&-10 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{-\frac{1}{5}\times r_{2}}\begin{pmatrix} 1 &2&-1&-2 \newline 0 &1&-1&-1\newline 0 &5&-5&-10 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{-5 r_{2}+ r_{3}}\begin{pmatrix} 1 &2&-1&-2 \newline 0 &1&-1&-1\newline 0 &0&0&-5 \newline \end{pmatrix}$

则 $r\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right)=r\left(\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T\right)=3.$

故该向量组的一个极大无关组为： $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4.$

$\begin{pmatrix} 1 &2&-1&-2 \newline 0 &1&-1&-1\newline 0 &0&0&-5 \newline \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{ -2r_{2}+ r_{1}}\begin{pmatrix} 1 &0&1&0 \newline 0 &1&-1&-1\newline 0 &0&0&-5\newline \end{pmatrix}$

则 $\alpha_3=\alpha_1-\alpha_2.$

解析

步骤 1：构造矩阵
构造矩阵$A=({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4})$，其中${\alpha }_{1}=(2,1,1,1)$，${\alpha }_{2}=(-1,1,7,10)$，${\alpha }_{3}=(3,1,-1,-2)$，${\alpha }_{4}=(8,5,9,11)$。
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵$A$进行初等行变换，化简为行阶梯形矩阵。
步骤 3：确定极大无关组
根据行阶梯形矩阵，确定极大无关组。
步骤 4：计算秩
根据极大无关组的个数，计算向量组的秩。
【答案】
$({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4})=r({{\alpha }_{1}}^{\dfrac {\pi }{1}},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4})=2$
故该向量组的极大无关组为：${\alpha }_{1},{\alpha }_{2}$或${\alpha }_{1},{\alpha }_{3}$或${\alpha }_{1},{\alpha }_{4}$或${\alpha }_{2},{\alpha }_{3}$或${\alpha }_{2},{\alpha }_{4}$或${\alpha }_{3},{\alpha }_{4}$。

（2）已知${x}_{1}=(1,2,-3)$ ${\alpha }_{2}=(2,-1,-1)$,
${x}_{3}=(-1,3,-2)$ ${\alpha }_{4}=(-2,1,-4)$，
求该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示.

【解析】
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵$A=({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4})$，其中${\alpha }_{1}=(1,2,-3)$，${\alpha }_{2}=(2,-1,-1)$，${\alpha }_{3}=(-1,3,-2)$，${\alpha }_{4}=(-2,1,-4)$。
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵$A$进行初等行变换，化简为行阶梯形矩阵。
步骤 3：确定极大无关组
根据行阶梯形矩阵，确定极大无关组。
步骤 4：表示其余向量
根据极大无关组，表示其余向量。