题目
求球面 ^2+(y)^2+(z)^2=14 在点(1,2,3)处的切平面和法线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定球面方程和点
球面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=14$，给定点为 (1,2,3)。
步骤 2：计算球面在给定点处的法向量
球面方程可以看作函数 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 14$，其梯度 $\nabla F = (2x, 2y, 2z)$ 在点 (1,2,3) 处的值为 (2, 4, 6)。这个梯度就是球面在该点处的法向量。
步骤 3：写出切平面方程
切平面方程可以表示为法向量与点的坐标差的点积等于零，即 $(2, 4, 6) \cdot (x-1, y-2, z-3) = 0$，展开后得到 $2(x-1) + 4(y-2) + 6(z-3) = 0$，化简后得到 $2x + 4y + 6z - 2 - 8 - 18 = 0$，即 $2x + 4y + 6z - 28 = 0$，进一步化简得到 $x + 2y + 3z - 14 = 0$。
步骤 4：写出法线方程
法线方程是通过给定点 (1,2,3) 并沿法向量 (2, 4, 6) 方向的直线方程，可以表示为 $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{4} = \dfrac{z-3}{6}$，为了简化，可以将分母都除以2，得到 $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{2} = \dfrac{z-3}{3}$。
球面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=14$，给定点为 (1,2,3)。
步骤 2：计算球面在给定点处的法向量
球面方程可以看作函数 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 14$，其梯度 $\nabla F = (2x, 2y, 2z)$ 在点 (1,2,3) 处的值为 (2, 4, 6)。这个梯度就是球面在该点处的法向量。
步骤 3：写出切平面方程
切平面方程可以表示为法向量与点的坐标差的点积等于零，即 $(2, 4, 6) \cdot (x-1, y-2, z-3) = 0$，展开后得到 $2(x-1) + 4(y-2) + 6(z-3) = 0$，化简后得到 $2x + 4y + 6z - 2 - 8 - 18 = 0$，即 $2x + 4y + 6z - 28 = 0$，进一步化简得到 $x + 2y + 3z - 14 = 0$。
步骤 4：写出法线方程
法线方程是通过给定点 (1,2,3) 并沿法向量 (2, 4, 6) 方向的直线方程，可以表示为 $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{4} = \dfrac{z-3}{6}$，为了简化，可以将分母都除以2，得到 $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{2} = \dfrac{z-3}{3}$。