[题目]设随机变量 sim U(0,1) 求 =(X)^2 的概率-|||-密度

考查要点：本题主要考查函数变换法求概率密度的应用，涉及均匀分布的性质及分布函数法的步骤。

解题核心思路：

1. 确定Y的取值范围：由于$X \sim U(0,1)$，故$Y = X^2$的取值范围为$[0,1]$。
2. 利用分布函数法：通过计算$Y$的分布函数$F_Y(y)$，再对其求导得到概率密度$f_Y(y)$。
3. 关键步骤：
   • 将事件$\{Y \leqslant y\}$转化为关于$X$的事件；
   • 利用$X$的均匀分布性质计算概率；
   • 对分布函数求导时注意定义域的限制。

破题关键点：

• 正确转化不等式：$X^2 \leqslant y$在$X \geqslant 0$的条件下等价于$X \leqslant \sqrt{y}$；
• 导数计算：对$F_Y(y) = \sqrt{y}$求导时需注意链式法则的应用。

步骤1：确定Y的分布函数
对于$0 \leqslant y \leqslant 1$，有：
$\begin{aligned}F_Y(y) &= P(Y \leqslant y) = P(X^2 \leqslant y) \\&= P(-\sqrt{y} \leqslant X \leqslant \sqrt{y}).\end{aligned}$
由于$X \sim U(0,1)$，其取值范围为$[0,1]$，因此$X \geqslant 0$，所以上式可简化为：
$F_Y(y) = P(0 \leqslant X \leqslant \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y}),$
其中$F_X(x)$是$X$的分布函数，即：
$F_X(x) = \begin{cases}0, & x < 0, \\x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\1, & x > 1.\end{cases}$
因此，当$0 \leqslant y \leqslant 1$时，$F_Y(y) = \sqrt{y}$。

步骤2：求导得到概率密度
对$F_Y(y) = \sqrt{y}$求导得：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \sqrt{y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}.$
当$y < 0$或$y > 1$时，$f_Y(y) = 0$。

步骤3：综合结果
综上，$Y$的概率密度函数为：
$f_Y(y) = \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{y}}, & 0 < y < 1, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$