题目
2.用格林公式计算下列曲线积分.-|||-(1) int (x)^2dy-(x)^2ydx, 其中L为圆周-|||-^2+(y)^2=(a)^2(agt 0), 取逆时针方向.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定格林公式适用条件
格林公式适用于平面上的闭合曲线积分，其中曲线L是正向闭合曲线，且在L所围成的区域内，函数P(x,y)和Q(x,y)具有连续的一阶偏导数。本题中，L为圆周${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$，取逆时针方向，满足格林公式的适用条件。
步骤 2：应用格林公式
格林公式为：$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$，其中D为L所围成的区域。本题中，$P(x,y) = -x^{2}y$，$Q(x,y) = x^{2}$，则$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -x^{2}$。因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x + x^{2}$。
步骤 3：计算二重积分
将$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x + x^{2}$代入格林公式，得到$\oint_{L} x^{2}dy - x^{2}ydx = \iint_{D} (2x + x^{2}) dxdy$。将圆周${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$转换为极坐标形式，得到$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。则$\iint_{D} (2x + x^{2}) dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} (2r\cos\theta + r^{2}\cos^{2}\theta) r dr d\theta$。计算得到$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} (2r\cos\theta + r^{2}\cos^{2}\theta) r dr d\theta = \frac{1}{2}\pi a^{4}$。
格林公式适用于平面上的闭合曲线积分，其中曲线L是正向闭合曲线，且在L所围成的区域内，函数P(x,y)和Q(x,y)具有连续的一阶偏导数。本题中，L为圆周${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$，取逆时针方向，满足格林公式的适用条件。
步骤 2：应用格林公式
格林公式为：$\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$，其中D为L所围成的区域。本题中，$P(x,y) = -x^{2}y$，$Q(x,y) = x^{2}$，则$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -x^{2}$。因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x + x^{2}$。
步骤 3：计算二重积分
将$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x + x^{2}$代入格林公式，得到$\oint_{L} x^{2}dy - x^{2}ydx = \iint_{D} (2x + x^{2}) dxdy$。将圆周${x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$转换为极坐标形式，得到$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。则$\iint_{D} (2x + x^{2}) dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} (2r\cos\theta + r^{2}\cos^{2}\theta) r dr d\theta$。计算得到$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} (2r\cos\theta + r^{2}\cos^{2}\theta) r dr d\theta = \frac{1}{2}\pi a^{4}$。