14.已知函数 (x)=(x)^2((e)^x-1) ,则 ^(5)(1)= __

本题要求计算函数 $f(x) = x^2(e^x - 1)$ 的五阶导数在 $x=1$ 处的值。核心思路是通过逐次求导或利用莱布尼茨公式展开高阶导数。关键在于：

1. 拆分函数：将 $f(x)$ 拆分为 $x^2 e^x$ 和 $-x^2$，分别求五阶导数后相减。
2. 简化计算：注意到 $-x^2$ 的五阶导数为 $0$，只需计算 $x^2 e^x$ 的五阶导数。
3. 莱布尼茨公式：利用乘积法则的高阶展开，结合 $x^2$ 的高阶导数特性（三阶及以上为 $0$），快速合并项。

步骤1：拆分函数

将 $f(x)$ 拆分为两部分：
$f(x) = x^2 e^x - x^2$

步骤2：分别求五阶导数

1. 第一部分 $x^2 e^x$ 的五阶导数
   使用莱布尼茨公式：
   $(x^2 e^x)^{(5)} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (x^2)^{(5-k)} (e^x)^{(k)}$
   由于 $x^2$ 的三阶及以上导数为 $0$，仅保留 $k \geq 3$ 的项：

   • $k=3$：$\binom{5}{3} \cdot 2 \cdot e^x = 10 \cdot 2 \cdot e^x = 20e^x$
   • $k=4$：$\binom{5}{4} \cdot 2x \cdot e^x = 5 \cdot 2x \cdot e^x = 10x e^x$
   • $k=5$：$\binom{5}{5} \cdot x^2 \cdot e^x = x^2 e^x$

   合并得：
   $(x^2 e^x)^{(5)} = 20e^x + 10x e^x + x^2 e^x$

2. 第二部分 $-x^2$ 的五阶导数
   显然为 $0$。

步骤3：代入 $x=1$

将 $x=1$ 代入第一部分的五阶导数：
$20e + 10 \cdot 1 \cdot e + 1^2 \cdot e = (20 + 10 + 1)e = 31e$