题目
设矩阵A与B相似,且A与B可逆,则 ^Tsim (B)^T,-|||-^-1sim (B)^-1 sim (B)^*-|||-A 对-|||-B 错
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义相似矩阵
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。
步骤 2：转置相似矩阵
根据相似矩阵的定义，若$B = P^{-1}AP$，则$B^T = (P^{-1}AP)^T = P^TA^T(P^{-1})^T$。由于$(P^{-1})^T = (P^T)^{-1}$，所以$B^T = (P^T)^{-1}A^TP^T$，这表明$A^T$和$B^T$相似。
步骤 3：逆相似矩阵
若$B = P^{-1}AP$，则$B^{-1} = (P^{-1}AP)^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$，这表明$A^{-1}$和$B^{-1}$相似。
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。
步骤 2：转置相似矩阵
根据相似矩阵的定义，若$B = P^{-1}AP$，则$B^T = (P^{-1}AP)^T = P^TA^T(P^{-1})^T$。由于$(P^{-1})^T = (P^T)^{-1}$，所以$B^T = (P^T)^{-1}A^TP^T$，这表明$A^T$和$B^T$相似。
步骤 3：逆相似矩阵
若$B = P^{-1}AP$，则$B^{-1} = (P^{-1}AP)^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$，这表明$A^{-1}$和$B^{-1}$相似。