题目
【例3】计算I=int_(L)(e^xsin y-my)dx+(e^xcos y-m)dy，其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周x^2+y^2=ax,ygeq0.
【例3】计算
$I=\int_{L}(e^{x}sin y-my)dx+(e^{x}cos y-m)dy$，
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周
$x^{2}+y^{2}=ax,y\geq0.$
题目解答
答案
设向量场 $ \mathbf{F} = (P, Q) $，其中 $ P = e^x \sin y - my $，$ Q = e^x \cos y - m $。计算得
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y,
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m.
\]
添加直线段 $ \overline{OA} $ 形成闭合曲线，应用格林公式：
\[
\oint_{L + \overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{D} m \, dA = m \cdot \text{半圆面积} = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}.
\]
直线段 $ \overline{OA} $ 上积分：
\[
\int_{\overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0.
\]
故原积分
\[
I = \frac{m \pi a^2}{8} - 0 = \boxed{\frac{m \pi a^2}{8}}.
\]
解析
步骤 1：定义向量场
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$，其中 $P = e^x \sin y - my$，$Q = e^x \cos y - m$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $P$ 和 $Q$ 的偏导数： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y. \] 从而得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m. \]
步骤 3：应用格林公式
添加直线段 $\overline{OA}$ 形成闭合曲线，应用格林公式： \[ \oint_{L + \overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{D} m \, dA = m \cdot \text{半圆面积} = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}. \]
步骤 4：计算直线段上的积分
直线段 $\overline{OA}$ 上积分： \[ \int_{\overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0. \]
步骤 5：计算原积分
故原积分 \[ I = \frac{m \pi a^2}{8} - 0 = \frac{m \pi a^2}{8}. \]
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$，其中 $P = e^x \sin y - my$，$Q = e^x \cos y - m$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $P$ 和 $Q$ 的偏导数： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y. \] 从而得到 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m. \]
步骤 3：应用格林公式
添加直线段 $\overline{OA}$ 形成闭合曲线，应用格林公式： \[ \oint_{L + \overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{D} m \, dA = m \cdot \text{半圆面积} = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}. \]
步骤 4：计算直线段上的积分
直线段 $\overline{OA}$ 上积分： \[ \int_{\overline{OA}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0. \]
步骤 5：计算原积分
故原积分 \[ I = \frac{m \pi a^2}{8} - 0 = \frac{m \pi a^2}{8}. \]