题目
若f(x)在f(x)上连续，则f(x)( )A. 不一定存在B. 一定不存在C. 必定存在D. 以上都不正确
若
在
上连续，则
( )
A. 不一定存在
B. 一定不存在
C. 必定存在
D. 以上都不正确
题目解答
答案
解：若在上连续
根据函数连续必可积可知：在
上连续，则在上可积，则存在，
因为无法确定
，
两点的情况，当，有一个为函数的间断点时，积分不存在，
所以不一定存在.
故答案为：A.
解析
步骤 1：理解函数连续与可积的关系
函数在某区间上连续，意味着该函数在该区间上没有间断点，即函数在该区间上是光滑的。根据数学分析中的定理，如果一个函数在闭区间上连续，那么该函数在该闭区间上可积。这意味着，如果函数在闭区间上连续，那么该函数在该闭区间上的定积分存在。
步骤 2：分析题目中的条件
题目中给出的条件是函数f(x)在开区间(a,b)上连续。这意味着函数f(x)在(a,b)上没有间断点，但题目没有给出关于端点a和b的信息。因此，我们不能确定函数f(x)在端点a和b处是否连续。
步骤 3：考虑端点的情况
如果函数f(x)在端点a和b处连续，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据步骤1中的定理，函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，即${\int }_{a}^{b}f(x)dx$存在。然而，如果函数f(x)在端点a或b处不连续，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上不可积，即${\int }_{a}^{b}f(x)dx$不存在。
函数在某区间上连续，意味着该函数在该区间上没有间断点，即函数在该区间上是光滑的。根据数学分析中的定理，如果一个函数在闭区间上连续，那么该函数在该闭区间上可积。这意味着，如果函数在闭区间上连续，那么该函数在该闭区间上的定积分存在。
步骤 2：分析题目中的条件
题目中给出的条件是函数f(x)在开区间(a,b)上连续。这意味着函数f(x)在(a,b)上没有间断点，但题目没有给出关于端点a和b的信息。因此，我们不能确定函数f(x)在端点a和b处是否连续。
步骤 3：考虑端点的情况
如果函数f(x)在端点a和b处连续，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据步骤1中的定理，函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，即${\int }_{a}^{b}f(x)dx$存在。然而，如果函数f(x)在端点a或b处不连续，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上不可积，即${\int }_{a}^{b}f(x)dx$不存在。