题目

设f(x)= ^2)},xneq 0 0, x=0 . 求f(n)(0)。

设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0, \end{array}求 f^{(n)}(0)\right.$ 。

题目解答

答案

对于 $x\ne0$ ，有

$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}e^{-\frac{1}{x^2}} \\ &= e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ &= e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot \frac{2}{x^3} \\ &= \frac{2e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3} \end{aligned}$

由此可知，当 $n$ 为正整数时， $f^{(n)}(x)$ 可表示为 $\frac{P_n(x)e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{3n}}$ 的形式，其中 $P_n(x)$ 为关于 $x$ 的一个多项式。

当 $x\rightarrow0$ 时， $\lim_{x\rightarrow0}e^{-\frac{1}{x^2}}=0$ ，所以 $\lim_{x\rightarrow0}f^{(n)}(x)=0$ 。

因此 $f^{(n)}(0)=0$ 。

解析

步骤 1：定义函数$f(x)$
假设$f(x)$定义为$f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}$。

步骤 2：计算$f(x)$在$x=0$处的$n$阶导数
对于$x \neq 0$，$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$可以表示为$\frac{P_n(x)e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^{3n}}$的形式，其中$P_n(x)$是关于$x$的多项式。

步骤 3：计算$\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x)$
由于$\lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{x^2}} = 0$，所以$\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x) = 0$。

步骤 4：确定$f^{(n)}(0)$
由于$f^{(n)}(x)$在$x=0$处的极限为$0$，根据导数的定义，$f^{(n)}(0) = 0$。