设函数f(x)在 (-infty ,+infty ) 内单调有界,(xn)为数列,下列命题正确-|||-的是 () .-|||-(A)若(xn)收敛,则(f(xn))收敛 (B)若(xn)单调,则(f(xn))收敛-|||-(C)若(f(xn))收敛,则(xn)收敛 (D)若(f(xn))单调,则(xn)收敛

考查要点：本题主要考查单调有界函数与数列收敛性的关系，需结合单调数列、复合函数收敛性等知识点进行分析。

解题核心思路：

1. 抓住函数性质：函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调有界，这意味着$f(x)$要么单调递增且有上界，要么单调递减且有下界。
2. 分析数列与函数复合后的性质：当数列$\{x_n\}$具有某种特性（如收敛、单调）时，需判断$\{f(x_n)\}$是否保持对应性质（如收敛）。
3. 反例排除法：对错误选项，可通过构造反例（如利用$f(x)$的不连续点或数列的特殊构造）说明其不成立。

破题关键点：

• 选项B的关键：若$\{x_n\}$单调，则$\{f(x_n)\}$因$f(x)$单调性而单调，再结合$f(x)$有界，可直接应用单调有界数列必收敛的定理。
• 其他选项的误区：需注意单调有界函数未必连续，且复合后的数列收敛性与原数列收敛性无必然联系。

选项分析

(A) 若$\{x_n\}$收敛，则$\{f(x_n)\}$收敛

错误。

• 反例：设$f(x)$在$x=0$处不连续，例如
  $f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1, & x \geq 0, \end{cases}$
  取数列$x_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$，显然$x_n \to 0$，但$f(x_n)$在$0$和$1$之间震荡，不收敛。

(B) 若$\{x_n\}$单调，则$\{f(x_n)\}$收敛

正确。

• 推导：
  1. 若$\{x_n\}$单调递增，因$f(x)$单调，$\{f(x_n)\}$也单调（递增或递减）。
  2. $f(x)$有界，故$\{f(x_n)\}$单调有界，根据单调有界定理，必收敛。

(C) 若$\{f(x_n)\}$收敛，则$\{x_n\}$收敛

错误。

• 反例：设$f(x) = 1$（常数函数），则$\{f(x_n)\}$恒为$1$（收敛），但取$x_n = n$（发散数列），显然$\{x_n\}$不收敛。

(D) 若$\{f(x_n)\}$单调，则$\{x_n\}$收敛

错误。

• 反例：设$f(x) = \arctan x$（单调有界），取$x_n = n$，则$\{f(x_n)\}$单调递增且收敛于$\frac{\pi}{2}$，但$\{x_n\}$发散于$+\infty$。