题目

设 I = iint_(D) (x^2 + 4y^2 + 9), dsigma，其中 D = (x, y)mid x^2 + y^2 leq 4，则估计 I 的范围() A. [4pi, 9pi]B. [16pi, 36pi]C. [9pi, 25pi]D. [36pi, 100pi]

设 $I = \iint_{D} (x^2 + 4y^2 + 9)\, d\sigma$，其中 $D = \{(x, y)\mid x^2 + y^2 \leq 4\}$，则估计 $I$ 的范围()

  • A. $[4\pi, 9\pi]$
  • B. $[16\pi, 36\pi]$
  • C. $[9\pi, 25\pi]$
  • D. $[36\pi, 100\pi]$

题目解答

答案

函数 $ f(x, y) = x^2 + 4y^2 + 9 $ 在区域 $ D: x^2 + y^2 \leq 4 $ 内的最小值和最大值分别为： - 最小值：在原点 $ (0,0) $ 处，$ f(0,0) = 9 $。 - 最大值：在边界 $ x^2 + y^2 = 4 $ 上，令 $ x = 2\cos\theta $，$ y = 2\sin\theta $，则 \[ f(2\cos\theta, 2\sin\theta) = 4\cos^2\theta + 16\sin^2\theta + 9 = 25 - 12\cos^2\theta \in [13, 25]. \] 故最大值为 25。 区域 $ D $ 的面积为 $ 4\pi $。由二重积分性质，得 \[ 9 \cdot 4\pi \leq I \leq 25 \cdot 4\pi \implies 36\pi \leq I \leq 100\pi. \] 答案：$\boxed{D}$。

解析

考查要点：本题主要考查二重积分的估计方法，涉及利用被积函数在积分区域内的最小值和最大值来确定积分范围。

解题核心思路：

  1. 确定被积函数的极值：在积分区域$D$内找到被积函数$f(x, y) = x^2 + 4y^2 + 9$的最小值$m$和最大值$M$。
  2. 应用积分性质：根据二重积分的性质，积分$I$的范围为$[m \cdot S_D, M \cdot S_D]$，其中$S_D$是区域$D$的面积。

破题关键点：

  • 极值分析：通过求偏导数找到内部临界点，并结合边界条件确定极值。
  • 边界参数化：利用极坐标参数化边界$x^2 + y^2 = 4$，简化被积函数的表达式。

1. 求被积函数的最小值和最大值

  • 内部临界点：
    计算偏导数$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$，$\frac{\partial f}{\partial y} = 8y$，令偏导数为零得临界点$(0, 0)$，此时$f(0, 0) = 9$。

  • 边界极值：
    在边界$x^2 + y^2 = 4$上，设$x = 2\cos\theta$，$y = 2\sin\theta$，代入得：
    $f(2\cos\theta, 2\sin\theta) = 4\cos^2\theta + 16\sin^2\theta + 9 = 25 - 12\cos^2\theta$
    由于$\cos^2\theta \in [0, 1]$，故$f$的取值范围为$[13, 25]$，即最大值为$25$，最小值为$13$。

  • 综合极值：
    区域内最小值为$f(0, 0) = 9$，最大值为边界上的$25$。

2. 计算积分范围

  • 区域面积：$D$是半径为$2$的圆，面积$S_D = 4\pi$。
  • 积分范围：
    $9 \cdot 4\pi \leq I \leq 25 \cdot 4\pi \implies 36\pi \leq I \leq 100\pi$