形状为椭球 (x)^2+(y)^2+4(z)^2leqslant 16 的空间探测器进入地球大气层,其表面开始受-|||-热,1小时后在探测器的点(x,y,z)处的温度 =8(x)^2+4yz-16z+600, 求探测器表面-|||-最热的点.

步骤 1：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda) = 8x^2 + 4yz - 16z + 600 + \lambda(4x^2 + y^2 + 4z^2 - 16)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。

步骤 2：求偏导数
对 $L$ 关于 $x$、$y$、$z$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并令其等于零，得到方程组：
\[
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = 16x + 8\lambda x = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = 4z + 2\lambda y = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial z} = 4y - 16 + 8\lambda z = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 4x^2 + y^2 + 4z^2 - 16 = 0
\end{cases}
\]

步骤 3：求解方程组
从第一个方程 $16x + 8\lambda x = 0$ 可得 $x(16 + 8\lambda) = 0$，因此 $x = 0$ 或 $\lambda = -2$。
- 当 $x = 0$ 时，代入方程组的其他方程求解 $y$ 和 $z$。
- 当 $\lambda = -2$ 时，代入方程组的其他方程求解 $y$ 和 $z$。

步骤 4：验证解
将求得的 $x$、$y$、$z$ 代入约束条件 $4x^2 + y^2 + 4z^2 = 16$ 验证是否满足条件。

步骤 5：比较温度
将求得的 $x$、$y$、$z$ 代入温度函数 $T = 8x^2 + 4yz - 16z + 600$，比较温度值，找出最大值对应的点。