9.(2025·全国一卷·高考真题)设数列(a_{n)}满足a_(1)=3,(a_(n+1))/(n)=(a_(n))/(n+1)+(1)/(n(n+1))(1)证明：(na_{n)}为等差数列；(2)设f(x)=a_(1)x+a_(2)x^2+L+a_(m)x^m，求f'(-2).

题目考察知识和解题思路

本题主要考察等差数列的证明以及数列与导数的综合应用，具体思路如下：

（1）证明$\{na_n\}$为等差数列

核心思路：通过代数变形构造新数列$b_n = na_n$，证明其相邻项差为常数。

• 已知$\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$，两边同乘$n(n+1)$消分母：
  $(n+1)a_{n+1} = na_n + 1$
• 移项得$(n+1)a_{n+1} - na_n = 1$，令$b_n = na_n$，则$b_{n+1} - b_n = 1$。
• 首项$b_1 = 1 \cdot a_1 = 3$，故$\{b_n\}$是以3为首项、1为公差的等差数列，即$\{na_n\}$为等差数列。

（2）求$f'(-2)$

核心思路：先求$a_n$表达式，再对$f(x)$求导，最后代入$x=-2$计算导数的和。

• 由（1）知$b_n = 3 + (n-1) \cdot 1 = n + 2$，故$a_n = \frac{b_n}{n} = \frac{n+2}{n}$。
• $f(x) = \sum_{k=1}^m a_k x^k$，求导得$f'(x) = \sum_{k=1}^m k a_k x^{k-1}$，代入$a_k = \frac{k+2}{k}$：
  $f'(x) = \sum_{k=1}^m (k+2) x^{k-1}$
• 计算$f'(-2)$，即求等比数列变形的和：
  设$S = \sum_{k=1}^m (k+2)(-2)^{k-1}$，利用错位相减法可推导得：
  $S = \frac{7}{9} - \frac{(3m+7)(-2)^m}{9}$