微分方程(x-arctan y)(dy)/(dx)+1+y^2=0的通解为（）A. x=Ce^arctan y+arctan y-1,C为任意常数B. x=Ce^-arctan y-arctan y-1,C为任意常数C. x=Ce^-arctan y+arctan y-1,C为任意常数D. x=Ce^-arctan y+arctan y-2,C为任意常数

本题考查一阶线性微分方程的解法。解题的关键在于将原方程转化为标准形式$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$，并利用积分因子法求解。核心步骤包括：

1. 变量互换：将原方程整理为关于$x$的微分方程，以$y$为自变量；
2. 识别标准形式：确定$P(y)$和$Q(y)$；
3. 应用通解公式：通过积分因子法求解，特别注意积分过程中的换元技巧。

步骤1：整理方程形式

原方程$(x - \arctan y)\frac{dy}{dx} + 1 + y^2 = 0$可改写为：
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{\arctan y}{1 + y^2}$
此时方程为一阶线性微分方程，其中：
$P(y) = \frac{1}{1 + y^2}, \quad Q(y) = \frac{\arctan y}{1 + y^2}$

步骤2：计算积分因子

积分因子为：
$\mu(y) = e^{\int P(y) dy} = e^{\arctan y}$

步骤3：代入通解公式

通解公式为：
$x = e^{-\int P(y) dy} \left( \int Q(y) e^{\int P(y) dy} dy + C \right)$
计算积分：
$\int \frac{\arctan y}{1 + y^2} e^{\arctan y} dy$
通过换元法（令$u = \arctan y$）和分部积分法，得：
$\int u e^u du = e^u (u - 1) + C$
代回原变量后，通解化简为：
$x = C e^{-\arctan y} + \arctan y - 1$