题目
lim _(xarrow alpha )dfrac (sin x-sin alpha )(x-alpha ).
.题目解答
答案
解:原式
.
.解析
步骤 1：应用三角恒等式
我们首先应用三角恒等式 $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$，将分子中的 $\sin x - \sin \alpha$ 转换为更易于处理的形式。
步骤 2：代入恒等式
将 $A = x$ 和 $B = \alpha$ 代入上述恒等式，得到 $\sin x - \sin \alpha = 2\cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)$。
步骤 3：简化极限表达式
将上述结果代入原极限表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {2\cos \dfrac {x+\alpha}{2}\sin \dfrac {x-\alpha}{2}}{x-\alpha}$。注意到 $\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)$ 可以与分母中的 $x-\alpha$ 相关联，因为 $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1$。
步骤 4：应用极限性质
利用极限的性质，将极限表达式拆分为两个部分的乘积，其中一部分是 $\cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)$，另一部分是 $\frac{\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)}{\frac{x-\alpha}{2}}$。当 $x\to\alpha$ 时，$\frac{x-\alpha}{2}\to 0$，因此 $\lim_{x\to\alpha}\frac{\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)}{\frac{x-\alpha}{2}} = 1$。
步骤 5：计算最终结果
将上述结果代入，得到 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {2\cos \dfrac {x+\alpha}{2}\sin \dfrac {x-\alpha}{2}}{x-\alpha} = \lim _{x\rightarrow a}2\cos \dfrac {x+\alpha}{2} \cdot \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin \dfrac {x-\alpha}{2}}{\dfrac {x-\alpha}{2}} = 2\cos \dfrac {2\alpha}{2} \cdot 1 = \cos \alpha$。
我们首先应用三角恒等式 $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$，将分子中的 $\sin x - \sin \alpha$ 转换为更易于处理的形式。
步骤 2：代入恒等式
将 $A = x$ 和 $B = \alpha$ 代入上述恒等式，得到 $\sin x - \sin \alpha = 2\cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)$。
步骤 3：简化极限表达式
将上述结果代入原极限表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {2\cos \dfrac {x+\alpha}{2}\sin \dfrac {x-\alpha}{2}}{x-\alpha}$。注意到 $\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)$ 可以与分母中的 $x-\alpha$ 相关联，因为 $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1$。
步骤 4：应用极限性质
利用极限的性质，将极限表达式拆分为两个部分的乘积，其中一部分是 $\cos\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)$，另一部分是 $\frac{\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)}{\frac{x-\alpha}{2}}$。当 $x\to\alpha$ 时，$\frac{x-\alpha}{2}\to 0$，因此 $\lim_{x\to\alpha}\frac{\sin\left(\frac{x-\alpha}{2}\right)}{\frac{x-\alpha}{2}} = 1$。
步骤 5：计算最终结果
将上述结果代入，得到 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {2\cos \dfrac {x+\alpha}{2}\sin \dfrac {x-\alpha}{2}}{x-\alpha} = \lim _{x\rightarrow a}2\cos \dfrac {x+\alpha}{2} \cdot \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin \dfrac {x-\alpha}{2}}{\dfrac {x-\alpha}{2}} = 2\cos \dfrac {2\alpha}{2} \cdot 1 = \cos \alpha$。