题目
z^2-4iz-(4-9i)=0的根为_____。
$$z^2-4iz-(4-9i)=0$$的根为_____。
题目解答
答案
$$z= \frac{3\sqrt{2}}{2}+(2-\frac{3\sqrt{2}}{2})i$$或$$z= -\frac{3\sqrt{2}}{2}+(2+\frac{3\sqrt{2}}{2})i$$
解析
步骤 1：识别方程类型
方程$$z^2-4iz-(4-9i)=0$$是一个复数二次方程，其中$$z$$是复数变量。
步骤 2：应用复数二次方程的求根公式
复数二次方程$$az^2+bz+c=0$$的根由公式$$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$给出。对于方程$$z^2-4iz-(4-9i)=0$$，我们有$$a=1$$，$$b=-4i$$，$$c=-(4-9i)$$。
步骤 3：计算判别式
判别式$$\Delta=b^2-4ac=(-4i)^2-4(1)(-(4-9i))=16-4(-4+9i)=16+16-36i=32-36i$$。
步骤 4：计算根
将判别式代入求根公式，得到$$z=\frac{4i\pm\sqrt{32-36i}}{2}$$。为了简化根，我们需要计算$$\sqrt{32-36i}$$。设$$\sqrt{32-36i}=x+yi$$，则有$$(x+yi)^2=32-36i$$，即$$x^2-y^2+2xyi=32-36i$$。由此得到两个方程：$$x^2-y^2=32$$和$$2xy=-36$$。解这个方程组，我们得到$$x=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$$和$$y=\mp\frac{3\sqrt{2}}{2}$$。因此，$$\sqrt{32-36i}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i$$或$$-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i$$。
步骤 5：计算最终的根
将$$\sqrt{32-36i}$$的值代入求根公式，得到$$z=\frac{4i\pm(\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i)}{2}$$。这给出两个根：$$z=\frac{3\sqrt{2}}{2}+(2-\frac{3\sqrt{2}}{2})i$$和$$z=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+(2+\frac{3\sqrt{2}}{2})i$$。
方程$$z^2-4iz-(4-9i)=0$$是一个复数二次方程，其中$$z$$是复数变量。
步骤 2：应用复数二次方程的求根公式
复数二次方程$$az^2+bz+c=0$$的根由公式$$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$给出。对于方程$$z^2-4iz-(4-9i)=0$$，我们有$$a=1$$，$$b=-4i$$，$$c=-(4-9i)$$。
步骤 3：计算判别式
判别式$$\Delta=b^2-4ac=(-4i)^2-4(1)(-(4-9i))=16-4(-4+9i)=16+16-36i=32-36i$$。
步骤 4：计算根
将判别式代入求根公式，得到$$z=\frac{4i\pm\sqrt{32-36i}}{2}$$。为了简化根，我们需要计算$$\sqrt{32-36i}$$。设$$\sqrt{32-36i}=x+yi$$，则有$$(x+yi)^2=32-36i$$，即$$x^2-y^2+2xyi=32-36i$$。由此得到两个方程：$$x^2-y^2=32$$和$$2xy=-36$$。解这个方程组，我们得到$$x=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$$和$$y=\mp\frac{3\sqrt{2}}{2}$$。因此，$$\sqrt{32-36i}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i$$或$$-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i$$。
步骤 5：计算最终的根
将$$\sqrt{32-36i}$$的值代入求根公式，得到$$z=\frac{4i\pm(\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i)}{2}$$。这给出两个根：$$z=\frac{3\sqrt{2}}{2}+(2-\frac{3\sqrt{2}}{2})i$$和$$z=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+(2+\frac{3\sqrt{2}}{2})i$$。