题目
【例7】求解矩阵方程AX=A+X,其中A=(}2&2&02&1&30&1&0).
【例7】求解矩阵方程$AX=A+X,$其中$A=\left(\begin{matrix}2&2&0\\2&1&3\\0&1&0\end{matrix}\right).$
题目解答
答案
将方程 $AX = A + X$ 变形为 $(A - I)X = A$，其中 $I$ 为单位矩阵。
计算 $A - I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。
对增广矩阵 $[(A - I) | A]$ 进行行变换，化为 $[I | X]$ 形式。
最终得到解：
\[
\boxed{\begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}}
\]
解析
步骤 1：变形方程
将方程 $AX = A + X$ 变形为 $(A - I)X = A$，其中 $I$ 为单位矩阵。
步骤 2：计算 $A - I$
计算 $A - I = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。
步骤 3：求解 $(A - I)X = A$
对增广矩阵 $[(A - I) | A]$ 进行行变换，化为 $[I | X]$ 形式。具体步骤如下：
1. 对增广矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & | & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 进行行变换。
2. 第二行减去第一行的两倍，第三行减去第二行的一半，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 2 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 3 & | & -2 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & | & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}$。
3. 第二行除以 -4，第三行乘以 -2，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{4} & | & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} & -\frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
4. 第二行加上第三行的 $\frac{3}{4}$ 倍，第一行减去第二行的两倍，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{3}{2} & | & -2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
5. 第一行减去第三行的 $\frac{3}{2}$ 倍，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
步骤 4：得到解
最终得到解：$X = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}$。
将方程 $AX = A + X$ 变形为 $(A - I)X = A$，其中 $I$ 为单位矩阵。
步骤 2：计算 $A - I$
计算 $A - I = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。
步骤 3：求解 $(A - I)X = A$
对增广矩阵 $[(A - I) | A]$ 进行行变换，化为 $[I | X]$ 形式。具体步骤如下：
1. 对增广矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & | & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ 进行行变换。
2. 第二行减去第一行的两倍，第三行减去第二行的一半，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 2 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 3 & | & -2 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & | & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}$。
3. 第二行除以 -4，第三行乘以 -2，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{4} & | & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} & -\frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
4. 第二行加上第三行的 $\frac{3}{4}$ 倍，第一行减去第二行的两倍，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{3}{2} & | & -2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
5. 第一行减去第三行的 $\frac{3}{2}$ 倍，得到 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
步骤 4：得到解
最终得到解：$X = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}$。