题目

利用克莱姆法则求解方程组 ) 2x+5y=1 3x-4y=5=7.-|||-A对-|||-B错

$\begin{aligned}&\text{利用克莱姆法则求解方程组}\begin{cases}2x+5y=1\\3x-4y=5\end{cases}\text{时,其中 }D_2=7.\\\\&\text{A 对}\\\\&\text{B 错}\end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &\text{1.} \text{首先明确克莱姆法则} \\ &\circ\quad\text{对于线性方程组}\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y=b_1\\a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{cases}\text{,系数行列式}\\&D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}, D_x=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}, \\ &D_y=\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}。 \\ &\circ\quad\text{若}D\neq0\text{,则方程组的解为}x=\frac{D_x}{D}\text{,}y=\frac{D_y}{D}. \\ & 2.\text{ 计算原方程组的系数行列式}D\text{和}D_2\text{(这里}D_2\text{即}D_y\text{):} \\ &\circ\quad\text{对于方程组}\begin{cases}2x+5y=1\\3x-4y=5\end{cases}\text{,系数行列式}D=\begin{vmatrix}2&5\\3&-4\end{vmatrix}\\&=2\times(-4)-3\times5=-8-15=-23。 \\ &\circ\quad D_2=D_y=\begin{vmatrix}2&1\\3&5\end{vmatrix}=2\times5-3\times1=10-3=7。 \\ &所以答案是:A对。 \end{aligned}$

解析

考查要点：本题主要考查克莱姆法则的应用，特别是对系数行列式和特定变量行列式的理解与计算。

解题核心思路：

明确克莱姆法则的步骤：计算系数行列式$D$，再分别用常数项替换对应列得到$D_x$和$D_y$，最后求解$x=\frac{D_x}{D}$和$y=\frac{D_y}{D}$。
关键点：题目中$D_2$对应的是替换第二列（即$y$的系数列）后的行列式，需正确计算其值。

破题关键：

行列式计算规则：二阶行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。
替换列的顺序：$D_2$是替换第二列，需将原方程组的常数项代入第二列。

步骤1：写出原方程组的系数行列式$D$
原方程组为：
$\begin{cases}2x + 5y = 1 \\3x - 4y = 5\end{cases}$
系数行列式$D$为：
$D = \begin{vmatrix}2 & 5 \\ 3 & -4\end{vmatrix} = (2)(-4) - (5)(3) = -8 - 15 = -23$

步骤2：计算$D_2$（即替换第二列后的行列式）
$D_2$是将原方程组的常数项替换第二列（$y$的系数列）：
$D_2 = \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 3 & 5\end{vmatrix} = (2)(5) - (1)(3) = 10 - 3 = 7$

结论：题目中$D_2=7$的描述正确，因此答案为A对。