题目
【题目】求微分方程yy''-(y')^2=0 的通解
【题目】求微分方程yy''-(y')^2=0 的通解
题目解答
答案
【解析】所给方程是二阶微分方程,且不显含,故可设y'=p(y) 则y''=p(dp)/(dy) 代入原方程,得y^(dp)(dy)/(dy)-p^2=0 dyp≠0时,约去p,得y(dp)/(dy)=p 分离变量并两边积分,得于是,得=C1ydx分离变量后两边积分,得通解为lny=C_1x+lnC_2=x y=C_2e^(C_1x_1C_1) ,C2是任意常数当p=-(dy)/(dx)=0(C是任意常数).这个解已包含在上述通解中(令C_1=0 即得)
解析
步骤 1：引入变量
设 \(y' = p(y)\)，则 \(y'' = p \frac{dp}{dy}\)。将 \(y''\) 和 \(y'\) 代入原方程，得到 \(y p \frac{dp}{dy} - p^2 = 0\)。
步骤 2：分离变量
当 \(p \neq 0\) 时，可以约去 \(p\)，得到 \(y \frac{dp}{dy} = p\)。分离变量，得到 \(\frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}\)。
步骤 3：积分求解
对两边积分，得到 \(\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{y}\)，即 \(\ln|p| = \ln|y| + C_1\)，其中 \(C_1\) 是积分常数。因此，\(p = C_1 y\)，其中 \(C_1\) 是任意常数。
步骤 4：求解 \(y\)
由于 \(p = y'\)，所以 \(y' = C_1 y\)。分离变量，得到 \(\frac{dy}{y} = C_1 dx\)。对两边积分，得到 \(\ln|y| = C_1 x + C_2\)，其中 \(C_2\) 是积分常数。因此，\(y = C_2 e^{C_1 x}\)，其中 \(C_2\) 是任意常数。
步骤 5：考虑特殊情况
当 \(p = 0\) 时，即 \(y' = 0\)，得到 \(y = C\)，其中 \(C\) 是任意常数。这个解已经包含在上述通解中（令 \(C_1 = 0\) 即得）。
设 \(y' = p(y)\)，则 \(y'' = p \frac{dp}{dy}\)。将 \(y''\) 和 \(y'\) 代入原方程，得到 \(y p \frac{dp}{dy} - p^2 = 0\)。
步骤 2：分离变量
当 \(p \neq 0\) 时，可以约去 \(p\)，得到 \(y \frac{dp}{dy} = p\)。分离变量，得到 \(\frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}\)。
步骤 3：积分求解
对两边积分，得到 \(\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{y}\)，即 \(\ln|p| = \ln|y| + C_1\)，其中 \(C_1\) 是积分常数。因此，\(p = C_1 y\)，其中 \(C_1\) 是任意常数。
步骤 4：求解 \(y\)
由于 \(p = y'\)，所以 \(y' = C_1 y\)。分离变量，得到 \(\frac{dy}{y} = C_1 dx\)。对两边积分，得到 \(\ln|y| = C_1 x + C_2\)，其中 \(C_2\) 是积分常数。因此，\(y = C_2 e^{C_1 x}\)，其中 \(C_2\) 是任意常数。
步骤 5：考虑特殊情况
当 \(p = 0\) 时，即 \(y' = 0\)，得到 \(y = C\)，其中 \(C\) 是任意常数。这个解已经包含在上述通解中（令 \(C_1 = 0\) 即得）。