题目
计算：underset(lim)(x→0)(tanx-sinx)/((x)^3)．
计算：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{{x}^{3}}$．
题目解答
答案
解：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{{x}^{3}}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx（1-cosx）}{{x}^{3}}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{x•\frac{1}{2}{x}^{2}}{{x}^{3}}$，
=$\frac{1}{2}$．
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx（1-cosx）}{{x}^{3}}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{x•\frac{1}{2}{x}^{2}}{{x}^{3}}$，
=$\frac{1}{2}$．
解析
步骤 1：将原式转换为易于处理的形式
原式可以写成 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{{x}^{3}}$，注意到 $tanx = \frac{sinx}{cosx}$，因此原式可以写成 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{{x}^{3}}$，进一步简化为 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx(1-cosx)}{cosx{x}^{3}}$。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$sinx$ 和 $x$ 是等价无穷小，$1-cosx$ 和 $\frac{1}{2}{x}^{2}$ 是等价无穷小，因此原式可以写成 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{x•\frac{1}{2}{x}^{2}}{cosx{x}^{3}}$。
步骤 3：简化并求极限
由于 $cosx$ 在 $x$ 趋近于 $0$ 时趋近于 $1$，因此原式可以进一步简化为 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{x•\frac{1}{2}{x}^{2}}{{x}^{3}}$，即 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{2}$，因此极限值为 $\frac{1}{2}$。
原式可以写成 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{{x}^{3}}$，注意到 $tanx = \frac{sinx}{cosx}$，因此原式可以写成 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{{x}^{3}}$，进一步简化为 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx(1-cosx)}{cosx{x}^{3}}$。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$sinx$ 和 $x$ 是等价无穷小，$1-cosx$ 和 $\frac{1}{2}{x}^{2}$ 是等价无穷小，因此原式可以写成 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{x•\frac{1}{2}{x}^{2}}{cosx{x}^{3}}$。
步骤 3：简化并求极限
由于 $cosx$ 在 $x$ 趋近于 $0$ 时趋近于 $1$，因此原式可以进一步简化为 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{x•\frac{1}{2}{x}^{2}}{{x}^{3}}$，即 $\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{2}$，因此极限值为 $\frac{1}{2}$。