题目
25.当 arrow (0)^+ 时,下列无穷小按阶从低到高的正确排列是 ()-|||-A. ^sqrt (x)-1 ,tan(sinx), ln (1+(x)^2),1-cos (x)^2 B. tan (sin x),(e)^sqrt (x)-1,ln (1+(x)^2),1-cos (x)^2-|||-C. ln (1+(x)^2) ,tan(sinx), https:/img.zuoyebang.cc/zyb_2cd9a7d7bcc5276b1ebae2801d3a3d50.jpg-cos (x)^2,(e)^sqrt (x)-1 D. ln (1+(x)^2),1-cos (x)^2,(e)^sqrt (x)-1,tan (sin x)-|||-()
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定每个函数在 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时的等价无穷小
- ${e}^{\sqrt {x}}-1$ 的等价无穷小为 $\sqrt{x}$，因为当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，${e}^{\sqrt {x}}-1 \sim \sqrt{x}$。
- $\tan(\sin x)$ 的等价无穷小为 $x$，因为当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，$\tan(\sin x) \sim \sin x \sim x$。
- $\ln(1+x^2)$ 的等价无穷小为 $x^2$，因为当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，$\ln(1+x^2) \sim x^2$。
- $1-\cos x^2$ 的等价无穷小为 $\frac{1}{2}x^4$，因为当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，$1-\cos x^2 \sim \frac{1}{2}x^4$。
步骤 2：比较各无穷小的阶
- $\sqrt{x}$ 的阶为 $\frac{1}{2}$。
- $x$ 的阶为 $1$。
- $x^2$ 的阶为 $2$。
- $\frac{1}{2}x^4$ 的阶为 $4$。
步骤 3：按阶从低到高排列
- 从低到高排列为：$\sqrt{x}$, $x$, $x^2$, $\frac{1}{2}x^4$。
- 对应的函数为：${e}^{\sqrt {x}}-1$, $\tan(\sin x)$, $\ln(1+x^2)$, $1-\cos x^2$。
- ${e}^{\sqrt {x}}-1$ 的等价无穷小为 $\sqrt{x}$，因为当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，${e}^{\sqrt {x}}-1 \sim \sqrt{x}$。
- $\tan(\sin x)$ 的等价无穷小为 $x$，因为当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，$\tan(\sin x) \sim \sin x \sim x$。
- $\ln(1+x^2)$ 的等价无穷小为 $x^2$，因为当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，$\ln(1+x^2) \sim x^2$。
- $1-\cos x^2$ 的等价无穷小为 $\frac{1}{2}x^4$，因为当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，$1-\cos x^2 \sim \frac{1}{2}x^4$。
步骤 2：比较各无穷小的阶
- $\sqrt{x}$ 的阶为 $\frac{1}{2}$。
- $x$ 的阶为 $1$。
- $x^2$ 的阶为 $2$。
- $\frac{1}{2}x^4$ 的阶为 $4$。
步骤 3：按阶从低到高排列
- 从低到高排列为：$\sqrt{x}$, $x$, $x^2$, $\frac{1}{2}x^4$。
- 对应的函数为：${e}^{\sqrt {x}}-1$, $\tan(\sin x)$, $\ln(1+x^2)$, $1-\cos x^2$。