题目
3.设向量组alpha_(1)=(lambda+3,lambda,3lambda+3,)^T,alpha_(2)=(1,1-lambda,lambda,)^T, alpha_(3)=(2,1,lambda+3,)^T,问lambda取何值时，向量组线性相关.
3.设向量组$\alpha_{1}=(\lambda+3,\lambda,3\lambda+3,)^{T},\alpha_{2}=(1,1-\lambda,\lambda,)^{T},$ $\alpha_{3}=(2,1,\lambda+3,)^{T},$问$\lambda$取何值时，向量组线性相关.
题目解答
答案
计算由向量 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ 构成的矩阵的行列式：
\[
\det(A) = \begin{vmatrix}
\lambda + 3 & 1 & 2 \\
\lambda & 1 - \lambda & 1 \\
3\lambda + 3 & \lambda & \lambda + 3
\end{vmatrix}
\]
展开得：
\[
\det(A) = -\lambda^3 + \lambda^2 - 6\lambda + 6 = -(\lambda - 1)(\lambda^2 + 6)
\]
令 $\det(A) = 0$，解得 $\lambda = 1$（因 $\lambda^2 + 6 = 0$ 无实根）。
**答案：** $\lambda = 1$
解析
步骤 1：构造矩阵
构造由向量 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ 构成的矩阵 $A$，其中 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ 分别为矩阵 $A$ 的列向量。
\[ A = \begin{pmatrix} \lambda + 3 & 1 & 2 \\ \lambda & 1 - \lambda & 1 \\ 3\lambda + 3 & \lambda & \lambda + 3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$。
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} \lambda + 3 & 1 & 2 \\ \lambda & 1 - \lambda & 1 \\ 3\lambda + 3 & \lambda & \lambda + 3 \end{vmatrix} \]
使用行列式的展开公式，我们得到：
\[ \det(A) = (\lambda + 3) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ \lambda & \lambda + 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 3\lambda + 3 & \lambda + 3 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} \lambda & 1 - \lambda \\ 3\lambda + 3 & \lambda \end{vmatrix} \]
\[ = (\lambda + 3) \left[ (1 - \lambda)(\lambda + 3) - \lambda \right] - 1 \left[ \lambda(\lambda + 3) - (3\lambda + 3) \right] + 2 \left[ \lambda^2 - (1 - \lambda)(3\lambda + 3) \right] \]
\[ = (\lambda + 3) \left[ \lambda + 3 - \lambda^2 - 3\lambda - \lambda \right] - 1 \left[ \lambda^2 + 3\lambda - 3\lambda - 3 \right] + 2 \left[ \lambda^2 - (3\lambda + 3 - 3\lambda^2 - 3\lambda) \right] \]
\[ = (\lambda + 3) \left[ -\lambda^2 - 3\lambda + 3 \right] - 1 \left[ \lambda^2 - 3 \right] + 2 \left[ \lambda^2 + 3\lambda^2 - 3 \right] \]
\[ = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 3\lambda^2 - 9\lambda + 9 - \lambda^2 + 3 + 2\lambda^2 + 6\lambda^2 - 6 \]
\[ = -\lambda^3 - 6\lambda^2 - 6\lambda + 6 \]
\[ = -(\lambda - 1)(\lambda^2 + 6) \]
步骤 3：求解线性相关条件
向量组线性相关当且仅当矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A) = 0$。
\[ -(\lambda - 1)(\lambda^2 + 6) = 0 \]
解得 $\lambda = 1$（因 $\lambda^2 + 6 = 0$ 无实根）。
构造由向量 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ 构成的矩阵 $A$，其中 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ 分别为矩阵 $A$ 的列向量。
\[ A = \begin{pmatrix} \lambda + 3 & 1 & 2 \\ \lambda & 1 - \lambda & 1 \\ 3\lambda + 3 & \lambda & \lambda + 3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$。
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} \lambda + 3 & 1 & 2 \\ \lambda & 1 - \lambda & 1 \\ 3\lambda + 3 & \lambda & \lambda + 3 \end{vmatrix} \]
使用行列式的展开公式，我们得到：
\[ \det(A) = (\lambda + 3) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ \lambda & \lambda + 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 3\lambda + 3 & \lambda + 3 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} \lambda & 1 - \lambda \\ 3\lambda + 3 & \lambda \end{vmatrix} \]
\[ = (\lambda + 3) \left[ (1 - \lambda)(\lambda + 3) - \lambda \right] - 1 \left[ \lambda(\lambda + 3) - (3\lambda + 3) \right] + 2 \left[ \lambda^2 - (1 - \lambda)(3\lambda + 3) \right] \]
\[ = (\lambda + 3) \left[ \lambda + 3 - \lambda^2 - 3\lambda - \lambda \right] - 1 \left[ \lambda^2 + 3\lambda - 3\lambda - 3 \right] + 2 \left[ \lambda^2 - (3\lambda + 3 - 3\lambda^2 - 3\lambda) \right] \]
\[ = (\lambda + 3) \left[ -\lambda^2 - 3\lambda + 3 \right] - 1 \left[ \lambda^2 - 3 \right] + 2 \left[ \lambda^2 + 3\lambda^2 - 3 \right] \]
\[ = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 3\lambda^2 - 9\lambda + 9 - \lambda^2 + 3 + 2\lambda^2 + 6\lambda^2 - 6 \]
\[ = -\lambda^3 - 6\lambda^2 - 6\lambda + 6 \]
\[ = -(\lambda - 1)(\lambda^2 + 6) \]
步骤 3：求解线性相关条件
向量组线性相关当且仅当矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A) = 0$。
\[ -(\lambda - 1)(\lambda^2 + 6) = 0 \]
解得 $\lambda = 1$（因 $\lambda^2 + 6 = 0$ 无实根）。