设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b).证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)>0..

考查要点：本题主要考查拉格朗日中值定理的应用，以及函数在区间内极值点的存在性分析。关键在于利用函数不恒为常数的条件，结合导数的几何意义进行推导。

解题核心思路：

1. 存在性分析：由于函数不恒为常数且端点值相等，必然存在某点$c$使得$f(c) \neq f(a)$。
2. 分区间应用中值定理：将区间$[a,b]$分为$[a,c]$和$[c,b]$，分别应用拉格朗日中值定理，得到两个导数表达式。
3. 符号分析：通过比较$f(c)$与端点值的大小关系，判断至少有一个导数必须为正。

破题关键点：

• 函数不恒为常数保证了存在非端点值的极值点。
• 分区间后平均变化率的符号差异是推导导数正负的核心。

步骤1：证明存在点$c$使得$f(c) \neq f(a)$
由于$f(x)$在$[a,b]$上连续且不恒为常数，而$f(a)=f(b)$，根据连续函数的性质，必然存在$c \in (a,b)$，使得$f(c) \neq f(a)$（否则函数恒为常数，与题设矛盾）。

步骤2：应用拉格朗日中值定理

• 在区间$[a,c]$上，$f(x)$满足拉格朗日中值定理条件，存在$\xi_1 \in (a,c)$，使得：
  $f'(\xi_1) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a}.$
• 在区间$[c,b]$上，同理存在$\xi_2 \in (c,b)$，使得：
  $f'(\xi_2) = \frac{f(b) - f(c)}{b - c}.$

步骤3：分析导数的符号

• 若$f(c) > f(a)$，则$\frac{f(c) - f(a)}{c - a} > 0$，故$f'(\xi_1) > 0$。
• 若$f(c) < f(a)$，则$\frac{f(b) - f(c)}{b - c} = \frac{f(a) - f(c)}{b - c} > 0$（因$f(a) > f(c)$且$b > c$），故$f'(\xi_2) > 0$。
• 无论哪种情况，至少存在一个导数大于0的点。