题目

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b).证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)>0..

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b).

证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)>0.

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题目解答

答案

证明：

∵在[a,b]连续的f(x)不恒为常数,且f(a)=f(b)，

∴至少存在点c∈(a,b),使得：f(c)≠f(a)=f(b)，

由题意知：f(x)在[a,c]和[c,b]满足拉格朗日中值定理，

∴存在点ξ1∈(a,c)、ξ2∈(c,b)，使得：

f(c)−f(a)c−a=f′(ξ1)，

f(b)−f(c)b−c=f′(ξ2)，

又f(c)−f(a)和f(b)−f(c)中必有一个大于0，

∴f′(ξ1)、f′(ξ2)中必有一个大于0，

即：在(a,b)内至少存在一点ξ,使得：f′(ξ)>0，证毕。

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解析

步骤 1：定义函数性质
函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。这意味着f(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件。

步骤 2：应用罗尔定理
根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)=0。然而，题目要求证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0，这需要进一步分析。

步骤 3：分析函数的性质
由于f(x)不恒为常数，因此在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)≠f(a)=f(b)。这意味着f(x)在[a,c]和[c,b]上至少有一个区间内函数值是增加的或减少的。

步骤 4：应用拉格朗日中值定理
在[a,c]和[c,b]上应用拉格朗日中值定理，存在点ξ1∈(a,c)、ξ2∈(c,b)，使得：
f(c)−f(a)c−a=f′(ξ1)，
f(b)−f(c)b−c=f′(ξ2)。
由于f(c)−f(a)和f(b)−f(c)中必有一个大于0，因此f′(ξ1)、f′(ξ2)中必有一个大于0。

步骤 5：得出结论
因此，在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0，证毕。