求过三点M1(1,1,1)、 _(2)(-3,2,1) 及M3(4,3,2)的平面方程.

步骤 1：确定向量
首先，我们需要确定两个向量，这两个向量分别由点M1到点M2和点M1到点M3构成。这些向量分别是：
$\overrightarrow{M_1M_2} = (-3 - 1, 2 - 1, 1 - 1) = (-4, 1, 0)$
$\overrightarrow{M_1M_3} = (4 - 1, 3 - 1, 2 - 1) = (3, 2, 1)$

步骤 2：计算法向量
接下来，我们需要计算这两个向量的叉积，以得到平面的法向量。叉积的计算公式为：
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{M_1M_2} \times \overrightarrow{M_1M_3}$
$\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{n} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(-4 \cdot 1 - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(-4 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$\overrightarrow{n} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(-8 - 3)$
$\overrightarrow{n} = \mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 11\mathbf{k}$
$\overrightarrow{n} = (1, 4, -11)$

步骤 3：确定平面方程
最后，我们使用点M1和法向量$\overrightarrow{n}$来确定平面方程。平面方程的一般形式为：
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
其中，$(x_0, y_0, z_0)$是平面上的一个点，$(A, B, C)$是平面的法向量。将点M1(1,1,1)和法向量$\overrightarrow{n} = (1, 4, -11)$代入，得到：
$(1)(x - 1) + (4)(y - 1) + (-11)(z - 1) = 0$
$x - 1 + 4y - 4 - 11z + 11 = 0$
$x + 4y - 11z + 6 = 0$