题目
18.设 = (x,y)|0leqslant yleqslant sqrt {4-{x)^2}} , 计算二重积分-|||-iint ((x)^2+(y)^2+xsin (y)^2)dxdy.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
$D=\{ (x,y)|0\leqslant y\leqslant \sqrt {4-{x}^{2}}\} $，表示一个半径为2的上半圆区域，其中$-2\leqslant x\leqslant 2$，$0\leqslant y\leqslant 2$。
步骤 2：计算二重积分
$\iint ({x}^{2}+{y}^{2}+x\sin {y}^{2})dxdy$，首先对$x$积分，然后对$y$积分。
步骤 3：对$x$积分
${\int }_{-2}^{2}({x}^{2}+{y}^{2}+x\sin {y}^{2})dx$，计算得到$\dfrac {1}{3}{x}^{3}+{y}^{2}x+x\sin {y}^{2}$在$-2$到$2$的积分值。
步骤 4：对$y$积分
将步骤3的结果代入，得到${\int }_{0}^{2}(\dfrac {16}{3}+4{y}^{2}+4\sin {y}^{2})dy$，计算得到$\dfrac {32}{3}+\dfrac {32}{3}+2(y-\dfrac {1}{2}\sin 2y)$在$0$到$2$的积分值。
步骤 5：计算最终结果
将步骤4的结果代入，得到$\dfrac {64}{3}+4-\sin 4$。
$D=\{ (x,y)|0\leqslant y\leqslant \sqrt {4-{x}^{2}}\} $，表示一个半径为2的上半圆区域，其中$-2\leqslant x\leqslant 2$，$0\leqslant y\leqslant 2$。
步骤 2：计算二重积分
$\iint ({x}^{2}+{y}^{2}+x\sin {y}^{2})dxdy$，首先对$x$积分，然后对$y$积分。
步骤 3：对$x$积分
${\int }_{-2}^{2}({x}^{2}+{y}^{2}+x\sin {y}^{2})dx$，计算得到$\dfrac {1}{3}{x}^{3}+{y}^{2}x+x\sin {y}^{2}$在$-2$到$2$的积分值。
步骤 4：对$y$积分
将步骤3的结果代入，得到${\int }_{0}^{2}(\dfrac {16}{3}+4{y}^{2}+4\sin {y}^{2})dy$，计算得到$\dfrac {32}{3}+\dfrac {32}{3}+2(y-\dfrac {1}{2}\sin 2y)$在$0$到$2$的积分值。
步骤 5：计算最终结果
将步骤4的结果代入，得到$\dfrac {64}{3}+4-\sin 4$。