题目

2. 设离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=(1)/(2)lambda^k,k=1,2,...，则P(X>2)=____

2. 设离散型随机变量X的分布律为$P(X=k)=\frac{1}{2}\lambda^{k},k=1,2,\cdots$，则P(X>2)=____

题目解答

答案

为了找到离散型随机变量 $X$ 的 $P(X > 2)$，已知分布律为 $P(X = k) = \frac{1}{2} \lambda^k$ 对于 $k = 1, 2, \cdots$，我们需要遵循以下步骤： 1. **确定 $\lambda$ 的值：** 由于 $P(X = k)$ 是一个概率分布，所有概率的和必须等于1。因此，我们有： \[ \sum_{k=1}^{\infty} P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \lambda^k = 1. \] 这是一个首项为 $a = \frac{1}{2} \lambda$ 和公比为 $r = \lambda$ 的几何级数。无限几何级数的和由 $\frac{a}{1 - r}$ 给出，对于 $|r| < 1$。因此，我们有： \[ \frac{\frac{1}{2} \lambda}{1 - \lambda} = 1. \] 解 $\lambda$，我们得到： \[ \frac{1}{2} \lambda = 1 - \lambda \implies \frac{1}{2} \lambda + \lambda = 1 \implies \frac{3}{2} \lambda = 1 \implies \lambda = \frac{2}{3}. \] 2. **找到 $P(X > 2)$：** 概率 $P(X > 2)$ 是 $X$ 取大于2的值的概率之和。因此，我们有： \[ P(X > 2) = \sum_{k=3}^{\infty} P(X = k) = \sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^k. \] 这也是一个几何级数，首项为 $a = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$ 和公比为 $r = \frac{2}{3}$。这个无限几何级数的和为： \[ \frac{\frac{4}{27}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{27}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{27} \cdot 3 = \frac{4}{9}. \] 因此，$P(X > 2)$ 的值为： \[ \boxed{\frac{4}{9}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的性质及几何级数求和的应用。
解题思路：

  1. 确定参数λ：根据分布律的总和为1，建立方程求解λ的值。
  2. 计算所求概率：利用几何级数求和公式，直接计算$P(X>2)$的值。
    关键点：
  • 分布律的归一性：所有概率之和必须等于1。
  • 几何级数求和公式：$\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}$（$|r|<1$）。

步骤1：确定参数λ

根据分布律的归一性，有：
$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \lambda^k = 1.$
该级数是首项为$\frac{1}{2}\lambda$、公比为$\lambda$的几何级数，其和为：
$\frac{\frac{1}{2}\lambda}{1-\lambda} = 1.$
解方程得：
$\frac{1}{2}\lambda = 1 - \lambda \implies \lambda = \frac{2}{3}.$

步骤2：计算$P(X>2)$

$P(X>2)$是$X$取值为3,4,…的概率之和：
$P(X>2) = \sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^k.$
该级数是首项为$\frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{4}{27}$、公比为$\frac{2}{3}$的几何级数，其和为：
$\frac{\frac{4}{27}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{27}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{9}.$