题目
(5)iint(y^2-x)dxdy，D是由抛物线x=y^2和x=3-2y^2所围成的闭区域；
(5)$\iint(y^{2}-x)dxdy$，D是由抛物线$x=y^{2}$和$x=3-2y^{2}$所围成的闭区域；
题目解答
答案
1. **确定积分区域**：
抛物线 $x = y^2$ 和 $x = 3 - 2y^2$ 的交点为 $(1, \pm 1)$。
区域 $D$：$-1 \leq y \leq 1$，$y^2 \leq x \leq 3 - 2y^2$。
2. **设置二重积分**：
\[
\iint\limits_{D} (y^2 - x) \, dxdy = \int_{-1}^{1} \int_{y^2}^{3-2y^2} (y^2 - x) \, dx \, dy
\]
3. **对 $x$ 积分**：
\[
\int_{y^2}^{3-2y^2} (y^2 - x) \, dx = 9y^2 - \frac{9y^4}{2} - \frac{9}{2}
\]
4. **对 $y$ 积分**：
\[
2 \int_{0}^{1} \left( 9y^2 - \frac{9y^4}{2} - \frac{9}{2} \right) \, dy = -\frac{24}{5}
\]
**答案**：
\[
\boxed{-\frac{24}{5}}
\]
解析
步骤 1：确定积分区域
抛物线 $x = y^2$ 和 $x = 3 - 2y^2$ 的交点为 $(1, \pm 1)$。因此，区域 $D$ 可以描述为 $-1 \leq y \leq 1$，$y^2 \leq x \leq 3 - 2y^2$。
步骤 2：设置二重积分
根据区域 $D$ 的描述，二重积分可以写为：
\[ \iint\limits_{D} (y^2 - x) \, dxdy = \int_{-1}^{1} \int_{y^2}^{3-2y^2} (y^2 - x) \, dx \, dy \]
步骤 3：对 $x$ 积分
对内层积分进行计算：
\[ \int_{y^2}^{3-2y^2} (y^2 - x) \, dx = \left[ y^2x - \frac{x^2}{2} \right]_{y^2}^{3-2y^2} = \left( y^2(3-2y^2) - \frac{(3-2y^2)^2}{2} \right) - \left( y^4 - \frac{y^4}{2} \right) \]
\[ = 3y^2 - 2y^4 - \frac{9}{2} + 6y^2 - 2y^4 - y^4 + \frac{y^4}{2} = 9y^2 - \frac{9y^4}{2} - \frac{9}{2} \]
步骤 4：对 $y$ 积分
对得到的表达式进行外层积分：
\[ \int_{-1}^{1} \left( 9y^2 - \frac{9y^4}{2} - \frac{9}{2} \right) \, dy = 2 \int_{0}^{1} \left( 9y^2 - \frac{9y^4}{2} - \frac{9}{2} \right) \, dy \]
\[ = 2 \left[ 3y^3 - \frac{9y^5}{10} - \frac{9y}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( 3 - \frac{9}{10} - \frac{9}{2} \right) = 2 \left( -\frac{12}{10} \right) = -\frac{24}{5} \]
抛物线 $x = y^2$ 和 $x = 3 - 2y^2$ 的交点为 $(1, \pm 1)$。因此，区域 $D$ 可以描述为 $-1 \leq y \leq 1$，$y^2 \leq x \leq 3 - 2y^2$。
步骤 2：设置二重积分
根据区域 $D$ 的描述，二重积分可以写为：
\[ \iint\limits_{D} (y^2 - x) \, dxdy = \int_{-1}^{1} \int_{y^2}^{3-2y^2} (y^2 - x) \, dx \, dy \]
步骤 3：对 $x$ 积分
对内层积分进行计算：
\[ \int_{y^2}^{3-2y^2} (y^2 - x) \, dx = \left[ y^2x - \frac{x^2}{2} \right]_{y^2}^{3-2y^2} = \left( y^2(3-2y^2) - \frac{(3-2y^2)^2}{2} \right) - \left( y^4 - \frac{y^4}{2} \right) \]
\[ = 3y^2 - 2y^4 - \frac{9}{2} + 6y^2 - 2y^4 - y^4 + \frac{y^4}{2} = 9y^2 - \frac{9y^4}{2} - \frac{9}{2} \]
步骤 4：对 $y$ 积分
对得到的表达式进行外层积分：
\[ \int_{-1}^{1} \left( 9y^2 - \frac{9y^4}{2} - \frac{9}{2} \right) \, dy = 2 \int_{0}^{1} \left( 9y^2 - \frac{9y^4}{2} - \frac{9}{2} \right) \, dy \]
\[ = 2 \left[ 3y^3 - \frac{9y^5}{10} - \frac{9y}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( 3 - \frac{9}{10} - \frac{9}{2} \right) = 2 \left( -\frac{12}{10} \right) = -\frac{24}{5} \]