题目

已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4＝−1 4x1+3x2+5x3−x4＝−1 ax1+x2+3x3+bx4＝1 有3个线性无关的解，（1）证明方程组系数矩阵A的秩r（A）=2；（2）求a，b的值及方程组的通解．

已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4＝−1
4x1+3x2+5x3−x4＝−1
ax1+x2+3x3+bx4＝1
有3个线性无关的解，
（1）证明方程组系数矩阵A的秩r（A）=2；
（2）求a，b的值及方程组的通解．

题目解答

答案

（1）设α1，α2，α3是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中
A＝
1 1 1 1
4 3 5 −1
a 1 3 b
，β＝
−1
−1
1
．
则有　A（α1-α2）=0，A（α1-α3）=0．
则　α1-α2，α1-α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关．（否则，易推出α1，α2，α3线性相关，矛盾）．
所以　n-r（A）≥2，即4-r（A）≥2⇒r（A）≤2．
又矩阵A中有一个2阶子式
1 1
4 3
＝−1≠0，所以r（A）≤2．
因此　r（A）=2．
（ II）  因为A＝
1 1 1 1
4 3 5 −1
a 1
问题解析
（1）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；
（2）利用初等变换求矩阵A的秩确定参数a，b，然后解方程组．
名师点评
本题考点：
非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；矩阵初等行变换和初始列变换；矩阵的秩的性质；矩阵的秩与向量组的秩的关系；基础解系、通解及解空间的概念．
考点点评：
本题为线性方程组的综合题，考察了求方程组的基础解系及特解．做题过程中我们应注意到第一问与第二问是相互独立的，因此在第一问作不出时，可直接求解第二问．

解析

步骤 1：证明方程组系数矩阵A的秩r（A）=2
设α_1，α_2，α_3是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中
A＝
1
1
1
1
4
3
5
−1
a
1
3
b
，β＝
−1
−1
1
．
则有　A（α_1-α_2）=0，A（α_1-α_3）=0．
则　α_1-α_2，α_1-α_3是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关．（否则，易推出α_1，α_2，α_3线性相关，矛盾）．
所以　n-r（A）≥2，即4-r（A）≥2⇒r（A）≤2．
又矩阵A中有一个2阶子式
1
1
4
3
＝−1≠0，所以r（A）≤2．
因此　r（A）=2．
步骤 2：求a，b的值及方程组的通解
利用初等变换求矩阵A的秩确定参数a，b，然后解方程组．