题目
七、(本题满分10分)设 (x)=(x)^2+dfrac (3)(4)(int )_(0)^1f(t)dt, (1)求f(x)dx;(2)求曲线 y=f(x)-|||-与直线 y=x+1 所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V.-|||-八、(本题满分6分)设f(x)在[0,1]上可导, (0)f(1)lt 0, 证明:存在 xi in (0,1), 使
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解 $f(x)$
首先，我们设 $m = \int_{0}^{1} f(t) dt$，则有 $f(x) = x^2 + \frac{3}{4}m$。接下来，我们需要求解 $m$ 的值。
步骤 2：求解 $m$
将 $f(x)$ 的表达式代入 $m$ 的定义式中，得到 $m = \int_{0}^{1} (t^2 + \frac{3}{4}m) dt$。计算积分，得到 $m = \frac{1}{3} + \frac{3}{4}m$。解这个方程，得到 $m = \frac{4}{3}$。
步骤 3：求解 $f(x)$
将 $m$ 的值代入 $f(x)$ 的表达式中，得到 $f(x) = x^2 + 1$。
步骤 4：求解 $\int_{0}^{1} f(x) dx$
将 $f(x)$ 的表达式代入积分中，得到 $\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \frac{1}{3}x^3 + x \big|_{0}^{1} = \frac{4}{3}$。
步骤 5：求解旋转体体积 $V$
首先，求解曲线 $y = f(x)$ 与直线 $y = x + 1$ 的交点。解方程 $x^2 + 1 = x + 1$，得到 $x = 0$ 或 $x = 1$。因此，旋转体的体积为 $V = \pi \int_{0}^{1} [(x + 1)^2 - (x^2 + 1)^2] dx$。计算积分，得到 $V = \frac{7}{15}\pi$。
首先，我们设 $m = \int_{0}^{1} f(t) dt$，则有 $f(x) = x^2 + \frac{3}{4}m$。接下来，我们需要求解 $m$ 的值。
步骤 2：求解 $m$
将 $f(x)$ 的表达式代入 $m$ 的定义式中，得到 $m = \int_{0}^{1} (t^2 + \frac{3}{4}m) dt$。计算积分，得到 $m = \frac{1}{3} + \frac{3}{4}m$。解这个方程，得到 $m = \frac{4}{3}$。
步骤 3：求解 $f(x)$
将 $m$ 的值代入 $f(x)$ 的表达式中，得到 $f(x) = x^2 + 1$。
步骤 4：求解 $\int_{0}^{1} f(x) dx$
将 $f(x)$ 的表达式代入积分中，得到 $\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \frac{1}{3}x^3 + x \big|_{0}^{1} = \frac{4}{3}$。
步骤 5：求解旋转体体积 $V$
首先，求解曲线 $y = f(x)$ 与直线 $y = x + 1$ 的交点。解方程 $x^2 + 1 = x + 1$，得到 $x = 0$ 或 $x = 1$。因此，旋转体的体积为 $V = \pi \int_{0}^{1} [(x + 1)^2 - (x^2 + 1)^2] dx$。计算积分，得到 $V = \frac{7}{15}\pi$。