假设有向曲线C为 =(e)^x 从点(0,1)到点(1,e)的一段,则第二型曲线积分-|||-int (int )_(c)^se(x)^2xdx+dfrac ({e)^-x}(1+y)dy=

步骤 1：参数化曲线
曲线 $C$ 可以用参数方程表示为 $x=t$，$y=e^t$，其中 $t$ 从 $0$ 变化到 $1$。
步骤 2：计算 $dy$
根据 $y=e^t$，我们有 $dy=e^t dt$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $x=t$，$y=e^t$ 和 $dy=e^t dt$ 代入原积分，得到
$$
\int_{0}^{1} \left( \sec^2 t + \frac{e^{-t}}{1+e^t} e^t \right) dt
$$
步骤 4：化简积分
化简积分中的表达式，得到
$$
\int_{0}^{1} \left( \sec^2 t + \frac{1}{1+e^t} \right) dt
$$
步骤 5：计算积分
计算积分，得到
$$
\int_{0}^{1} \sec^2 t \, dt + \int_{0}^{1} \frac{1}{1+e^t} \, dt
$$
步骤 6：计算第一个积分
第一个积分是 $\tan t$ 的导数，所以
$$
\int_{0}^{1} \sec^2 t \, dt = \tan t \Big|_{0}^{1} = \tan 1 - \tan 0 = \tan 1
$$
步骤 7：计算第二个积分
第二个积分需要使用换元法，令 $u = 1 + e^t$，则 $du = e^t dt$，所以
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+e^t} \, dt = \int_{2}^{1+e} \frac{1}{u} \frac{du}{e^t} = \int_{2}^{1+e} \frac{1}{u} \frac{du}{u-1} = \int_{2}^{1+e} \frac{1}{u(u-1)} \, du
$$
步骤 8：部分分式分解
将 $\frac{1}{u(u-1)}$ 分解为部分分式，得到
$$
\frac{1}{u(u-1)} = \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}
$$
步骤 9：计算积分
计算积分，得到
$$
\int_{2}^{1+e} \left( \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u} \right) \, du = \ln |u-1| - \ln |u| \Big|_{2}^{1+e} = \ln (e) - \ln (1+e) - \ln (1) + \ln (2) = 1 - \ln (1+e) + \ln 2
$$
步骤 10：合并结果
将两个积分的结果合并，得到
$$
\tan 1 + 1 - \ln (1+e) + \ln 2
$$