[题目]-|||-在区间(0,1)内任取两个数,求这两个数的乘积-|||-小于 1/4 的概率。

考查要点：本题主要考查几何概率的计算，涉及二重积分的应用及不等式区域的划分。

解题核心思路：

1. 几何概率模型：在单位正方形$(0,1)\times(0,1)$中，满足条件$xy < \frac{1}{4}$的区域面积即为所求概率。
2. 区域划分：双曲线$xy = \frac{1}{4}$将正方形分为两部分，需分段积分计算满足条件的面积。
3. 积分计算：分别计算$x \in (0, \frac{1}{4})$和$x \in (\frac{1}{4}, 1)$时的积分，再求和。

破题关键点：

• 确定交点：双曲线与正方形边界的交点$(\frac{1}{4},1)$和$(1, \frac{1}{4})$，明确积分上下限。
• 分段积分：根据$x$的范围分两段积分，避免直接积分复杂区域。

步骤1：确定区域范围
在单位正方形中，双曲线$xy = \frac{1}{4}$与正方形的交点为$(\frac{1}{4},1)$和$(1, \frac{1}{4})$。满足$xy < \frac{1}{4}$的区域分为两部分：

1. 当$x \in (0, \frac{1}{4})$时，对任意$y \in (0,1)$，均有$xy < \frac{1}{4}$。
2. 当$x \in (\frac{1}{4}, 1)$时，$y$需满足$y < \frac{1}{4x}$。

步骤2：分段计算面积

1. 第一部分面积（$x \in (0, \frac{1}{4})$）：
   $\int_{0}^{\frac{1}{4}} 1 \, dx = \frac{1}{4}$
2. 第二部分面积（$x \in (\frac{1}{4}, 1)$）：
   $\int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{4x} \, dx = \frac{1}{4} \ln x \Big|_{\frac{1}{4}}^{1} = \frac{1}{4} \left(0 - (-\ln 4)\right) = \frac{\ln 4}{4} = \frac{\ln 2}{2}$

步骤3：总面积与概率
总面积为两部分之和：
$\frac{1}{4} + \frac{\ln 2}{2}$
因此，所求概率为：
$\frac{1}{4} + \frac{\ln 2}{2}$