题目
当x→0+时,sqrt (x+sqrt {x)}是x_________阶的无穷小.正确答案:低
当x→0+时,
是x_________阶的无穷小.
正确答案:低
题目解答
答案
解析:
是x的低阶无穷小. 知识模块:函数、极限与连续
解析
步骤 1：确定无穷小的阶数
为了确定 $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ 是 $x$ 的几阶无穷小，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {\sqrt {x+\sqrt {x}}}{x}$ 的值。如果这个极限为无穷大，则说明 $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ 是 $x$ 的低阶无穷小。
步骤 2：化简极限表达式
首先，将 $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ 写成 $\sqrt{x(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}$，然后将整个表达式写成 $\dfrac {\sqrt {x(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}}{x}$。
步骤 3：计算极限
将 $\dfrac {\sqrt {x(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}}{x}$ 化简为 $\dfrac {\sqrt {x}\sqrt {1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{x}$，进一步化简为 $\dfrac {\sqrt {1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}$。当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，$\frac{1}{\sqrt{x}}$ 趋向于无穷大，因此 $\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$ 也趋向于无穷大，而 $\sqrt{x}$ 趋向于0，所以整个表达式趋向于无穷大。
为了确定 $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ 是 $x$ 的几阶无穷小，我们需要计算 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {\sqrt {x+\sqrt {x}}}{x}$ 的值。如果这个极限为无穷大，则说明 $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ 是 $x$ 的低阶无穷小。
步骤 2：化简极限表达式
首先，将 $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ 写成 $\sqrt{x(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}$，然后将整个表达式写成 $\dfrac {\sqrt {x(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}}{x}$。
步骤 3：计算极限
将 $\dfrac {\sqrt {x(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}}{x}$ 化简为 $\dfrac {\sqrt {x}\sqrt {1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{x}$，进一步化简为 $\dfrac {\sqrt {1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}$。当 $x\rightarrow {0}^{+}$ 时，$\frac{1}{\sqrt{x}}$ 趋向于无穷大，因此 $\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$ 也趋向于无穷大，而 $\sqrt{x}$ 趋向于0，所以整个表达式趋向于无穷大。