题目
6.求方程组的通解，并求其基础解系}3x_{1)+4x_(2)+2x_(3)+2x_(4)=02x_(1)+3x_(2)+x_(3)+x_(4)=03x_(1)+5x_(2)+x_(3)+x_(4)=04x_(1)+5x_(2)+3x_(3)+3x_(4)=0.
6.求方程组的通解，并求其基础解系$\left\{\begin{matrix}3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=0\\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\3x_{1}+5x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\4x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3x_{4}=0\end{matrix}\right.$
题目解答
答案
将方程组的系数矩阵 $A$ 进行行初等变换：
\[
A = \begin{pmatrix}
3 & 4 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 1 \\
3 & 5 & 1 & 1 \\
4 & 5 & 3 & 3
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
由行最简形得：
\[
\begin{cases}
x_1 = -2x_3 - 2x_4 \\
x_2 = x_3 + x_4
\end{cases}
\]
令 $x_3 = s$，$x_4 = t$，通解为：
\[
\boxed{
s
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
\]
**基础解系：**
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
\]
解析
步骤 1：将方程组的系数矩阵进行行初等变换
将方程组的系数矩阵 $A$ 进行行初等变换，得到行最简形矩阵。
步骤 2：从行最简形矩阵中解出方程组
从行最简形矩阵中解出方程组，得到方程组的通解。
步骤 3：确定基础解系
根据通解的形式，确定基础解系。
将方程组的系数矩阵 $A$ 进行行初等变换，得到行最简形矩阵。
步骤 2：从行最简形矩阵中解出方程组
从行最简形矩阵中解出方程组，得到方程组的通解。
步骤 3：确定基础解系
根据通解的形式，确定基础解系。